Теорема Ньютона — Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка[править | править код]

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция непрерывна на отрезке и  — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство


Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция интегрируема и имеет первообразную на отрезке , — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная , дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры[en]).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция определена на отрезке за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция называется обобщённой первообразной , если она:

  • Непрерывна на отрезке
  • Во всех точках , за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
  • Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна .

Это определение не требует, чтобы производная равнялась во всех точках, где дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть определена на везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке , — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции не является первообразной (даже обобщённой) для функции на отрезке просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

История[править | править код]

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Значение[править | править код]

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно независимо от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл Лебега[править | править код]

Функция представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции . Функция является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебега): абсолютно непрерывна на отрезке тогда и только тогда, когда существует интегрируемая на функция такая, что при любом значении x от a до b.

Из этой теоремы вытекает, что если функция абсолютно непрерывна на , то её производная существует почти всюду, интегрируема и удовлетворяет равенству[1]:

, где .

Некоторые следствия[править | править код]

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу[1].

Интегрирование по частям[править | править код]

Пусть и — абсолютно непрерывные функции на отрезке . Тогда:

.

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[1].

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188-197. — 724 с. — ISBN 978-5-93972-742-6.

Литература[править | править код]

  • Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.