Теорема Нэша о регулярных вложениях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Нэша о регулярных вложениях:

Всякое -мерное риманово многообразие класса , , допускает изометрическое вложение в для достаточно большого .

Нэш также дал явную оценку , которая позднее несколько раз улучшалась. В частности теорема справедлива для .[1]

Нэш также доказал аналогичный результат для аналитических вложений.

О доказательстве[править | править вики-текст]

Эта теорема получена в результате применения обобщения теоремы о неявной функции — теоремы Нэша — Мозера. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости некоторой линейной алгебраической системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором , и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, то есть оператор локально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения по внутренним координатам должны быть поточечно линейно независимыми (такие вложения называются свободными). Из обобщенной теоремы о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие , достаточно близкое к компактному риманову многообразию , допускающему свободное изометрическое вложение в , также допускает изометрическое вложение в .

Как только это доказано, утверждение теоремы получается нехитрой конструкцией: Строится короткое свободное вложение . Пусть метрика индуцированная . Строится почти изометрическое вложение , , то есть вложение с индуцированной метрикой произвольно близкой к (это выполняется с помощью конструкции, называемой скручиванием Нэша), после чего используем теорему Нэша — Мозера и получаем вложение близкое к с индуцированной метрикой . Эти два вложения дают изометрическое вложение:

,   

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
  2. Бураго, Иванов, Изометрические вложения финслеровых многообразий

Литература[править | править вики-текст]

  • Нэш, Дж., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 4, с. 173—216;