Теорема Пикара (комплексный анализ)

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара

Формулировка

Областью значений целой функции, отличной от константы, является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Доказательство

Малая теорема Пикара является частным случаем теоремы Ландау. Покажем, что, предположив, что целая функция $f(z)$ выпускает два различных конечных значения $a$ и $b$ и не равна тождественно постоянному, мы немедленно придем к противоречию на основе теоремы Ландау.

Рассмотрим функцию $F(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}$. Она голоморфна во всей плоскости, не принимает значений $0$ и $1$ и не равна тождественно постоянному. Следовательно, найдется такая точка — примем её за начало координат, в которой производная $\backprime F'(0)=\beta$ не равна нулю. Пусть разложение нашей функции в степенной ряд будет $F(z)=\alpha +\beta z+a_{2}z^{2}+...$.

Так как функция $F(z)$ голоморфна и не принимает значений $0$ и $1$ внутри круга произвольного радиуса $R$ : $|z|<R$, то по теореме Ландау имеем $R<\Omega (\alpha ,\beta )$.

Противоречивость этого неравенства очевидна, так как в левой его части стоит произвольно большое число $R$, а в правой — постоянное число $\Omega (\alpha ,\beta )$.

Большая теорема Пикара

Пусть функция $f$ голоморфна в проколотой окрестности $U(z_{0})$ точки $z_{0}\in \mathbb {C}$ и имеет в точке $z_{0}$ существенную особенность. Тогда $f$ принимает в $U(z_{0})$ все значения, кроме, быть может, одного, бесконечное число раз.

Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки.

Примечания

• Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
• Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть $M$ — риманова поверхность, $\mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$ — сфера Римана, $f\colon M\setminus {w}\to \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$ — голоморфная функция, имеющая в точке $w$ существенную особенность. Тогда в любой окрестности $U(w)\subset M$ точки $w$ функция $f$ принимает почти все значения на $\mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$, за исключением не более чем двух.

Например, мероморфная функция

$f(z)={\frac {1}{1-\exp {1/z}}}$

имеет существенную особенность в точке $z=0$ и достигает $\infty$ в любой окрестности $U(0)$, но нигде не равна 0 или 1.

Литература

• Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М.: Физматкнига, 2003. — М., Издательство МФТИ, 2003. — 203 с — ISBN 5-89155-115-9
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб.: Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — М., 1977.