Теорема Пикара (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Областью значений целой функции является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Доказательство[править | править вики-текст]

Малая теорема Пикара является частным случаем теоремы Ландау. Покажем, что, предположив, что целая функция выпускает два различных конечных значения и и не равна тождественно постоянному, мы немедленно придем к противоречию на основе теоремы Ландау.

Рассмотрим функцию . Она голоморфна во всей плоскости, не принимает значений и и не равна тождественно постоянному. Следовательно, найдется такая точка - примем её за начало координат, в которой производная не равна нулю. Пусть разложение нашей функции в степенной ряд будет .

Так как функция голоморфна и не принимает значений и внутри круга произвольного радиуса  : , то по теореме Ландау имеем .

Противоречивость этого неравенства очевидна, так как в левой его части стоит произвольно большое число , а в правой - постоянное число .

Большая теорема Пикара[править | править вики-текст]

Пусть функция голоморфна в проколотой окрестности точки и имеет в точке существенную особенность. Тогда принимает в все значения, кроме, быть может, одного.

Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки.

Примечания[править | править вики-текст]

  • Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
  • Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть  — риманова поверхность,  — сфера Римана,  — голоморфная функция, имеющая в точке существенную особенность. Тогда в любой окрестности точки функция принимает почти все значения на , за исключением не более чем двух.
Например, мероморфная функция
имеет существенную особенность в точке и достигает в любой окрестности , но нигде не равна 0 или 1.

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М.: Физматкнига, 2003. — М., Издательство МФТИ, 2003. — 208 с — ISBN 5-89155-115-9 (ошибоч.)
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб.: Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — М., 1977.