Теорема Пойнтинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

,

Где S — вектор Пойнтинга, J — плотность тока и E — напряженность электрического поля. Плотность энергии ( — электрическая постоянная,  — магнитная постоянная).

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

,

где  — поверхность, ограничивающая объём .

В технической литературе теорема обычно записывается так ( — плотности энергии):

,

где  — плотность энергии электрического поля,  — плотность энергии магнитного поля и  — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод[править | править вики-текст]

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):

Домножив обе части уравнения на , получим:

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

Домножив обе части уравнения на , получим:

Вычитая первое из второго, получим:

Наконец:

Поскольку вектор Пойнтинга определяется как:

это равносильно:

Обобщение[править | править вики-текст]

Механическая энергия описанной выше теоремы

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

 — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

Альтернативные формы[править | править вики-текст]

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока можно выбрать форму Авраама , форму Минковского , или какую-либо другую.