Теорема Прота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел теорема Прота является тестом простоты для чисел Прота.

Формулировка[править | править код]

Теорема Прота гласит:

Если p — это число Прота вида , где k — нечётно и , то p — простое (называемое простым Прота) тогда и только тогда, когда для некоторого квадратичного невычета a выполняется сравнение:

Доказательство[править | править код]

(а) Пусть p — простое. Тогда для любого квадратичного невычета a: по критерию Эйлера.

(б) Пусть для некоторого квадратичного невычета a. Используем критерий Поклингтона, где . Тогда  — единственный простой делитель . Проверим выполнение условий критерия:

  1.  — выполнено.
  2. числа n и взаимно просты — выполнено.

Так как условие выполнено, n — простое. [1]

Тестирование чисел Прота на простоту[править | править код]

Теорема Прота может быть использована для тестирования простоты чисел Прота. Алгоритм вероятностного теста, основанного на теореме, выглядит следующим образом: Случайным образом выбирается целое число , такое что и вычисляет . Возможны следующие исходы:

  1. , тогда  — простое по теорема Прота.
  2. и , тогда  — составное, так как  — нетривиальные делители .
  3. , тогда N — составное по малой теореме Ферма.
  4. , тогда результат теста неизвестен.

Исход (4) является причиной того, что тест вероятностный. В случае (1)  — квадратичный невычет по модулю . Процедура повторяется пока простота не будет установлена. Если  — простое, то тест с вероятностью подтвердит это за одну итерацию, так как количество квадратичных невычетов по модулю ровно . [2]

Примеры[править | править код]

  • для p = 3, 2 1 + 1 = 3 кратно 3, поэтому 3 является простым.
  • для p = 5, 3 2 + 1 = 10 кратно 5, поэтому 5 является простым.
  • p = 13, 5 6 + 1 = 15626 делится на 13, 13 является простым.
  • для p = 9, которая не является простым, не существует b таких что a 4 + 1 делится на 9.

Простые числа Прота[править | править код]

Простые числа Прота образуют последовательность:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 … (последовательность A080076 в OEIS)

На май 2017 года, крупнейшее известное простое Прота, 10223 · 231172165 + 1, найдено проектом Primegrid. Оно имеет 9383761 десятичных цифр и является крупнейшим известным простым, не являющимся простым Мерсенна.[3]

Обобщенная теорема Прота[править | править код]

Лемма. Пусть для некоторого простого l и . Пусть  — степень простого числа, где . Если и , то n — простое.

Доказательство.  — делитель , поэтому . Если , то  — противоречие. Следовательно и  — простое.

Теорема (обобщенная теорема Прота). Пусть для некоторого простого и целых . Пусть . Если и для некоторого целого , то  — простое.

Доказательство обобщенной теоремы можно найти в работе Sze[4].

История[править | править код]

Франсуа Прот (англ.) (1852—1879) опубликовал теорему около 1878 года.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]