Теорема Пуанкаре о векторном поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть на гладком замкнутом многообразии определено гладкое векторное поле , имеющее конечное число изолированных особых точек . Тогда

здесь  — индекс точки относительно поля и число  — эйлерова характеристика многообразия .

История[править | править вики-текст]

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году[1].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями[2][3].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара. // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223).
  2. Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa. Vector fields on Singular Varieties. Springer, 2009
  3. Pavao Mardešić. Index of singularities of real vector fields on singular hypersurfaces. Journal of Singularities, vol 9 (2014), 111-121

Литература[править | править вики-текст]

  • Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
  • Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.