Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пуанкаре — Бендиксона — теорема в теории динамических систем, описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Пусть x = \varphi(t) — траектория векторного поля с фазовым пространством X. Точка x_* \in X называется ω-предельной (α-предельной) точкой этой траектории, если существует последовательность t_n \to +\infty (соответственно, t_n \to -\infty) такая, что \varphi(t_n) \to x_*. Соответственно, α-предельным (ω-предельным) множеством этой траектории называется множество, состоящее из всех её α-предельных (ω-предельных) точек.

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть задано C^1-гладкое векторное поле на сфере или на плоскости или в некоторой области плоскости (в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда ω-предельное множество любой траектории — это либо (1) особая точка, либо (2) периодическая траектория, либо (3) полицикл (объединение особых точек и соединяющих их отрезков траекторий). Аналогичное утверждение имеет место и для α-предельных множеств.


Замечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]