Теорема Сарда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории теории катастроф и теории динамических систем.[1]

Названа в честь американского математика Артура Сарда.[2] В некоторых источниках называется теоремой Бертини—Сарда,[3] а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат)[4] и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат)[5].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — открытое множество в пространстве и  — гладкая функция класса где число Пусть  — множество критических точек функции Если то множество критических значений является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве

Замечания[править | править вики-текст]

Как показал Х. Уитни, степень гладкости здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях и [6] [7]

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим тождественно постоянную функцию Все точки её области определения являются критическими, следовательно, Однако множество критических значений состоит из единственной точки , и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Лемма Сарда[править | править вики-текст]

Мера множества критических значений -гладкой функции равна нулю.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок Выберем число и разобьем отрезок на равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной не превосходило Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция непрерывна на отрезке , и следовательно (Теорема Кантора — Гейне), равномерно непрерывна на нём, т. е.

Обозначим через те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции т. е. Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка для всех , и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек выполнено неравенство

Покроем каждое множество интервалом длины тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит В силу произвольности выбора числа это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого[править | править вики-текст]

Пусть и  — два гладких многообразия положительных размерностей и и  — гладкая функция класса где Точка называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции в ней меньше Точка называется неправильной, если хотя бы для одной неправильной точки . В случае понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае все точки многообразия являются неправильными.

Если число то множество неправильных точек отображения в многообразии имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким[8][9][10].

Другие аналоги[править | править вики-текст]

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом[11]. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в[12]. Аналог для функций пониженной гладкости получен в[13].

Литература[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
  • Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
  • Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
  2. Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
  3. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
  4. Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
  5. Sternberg S. Lectures on differential geometry.
  6. Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
  7. Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
  8. Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n-мерного куба в k-мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
  9. Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
  10. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
  11. Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
  12. Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
  13. Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для -гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.