Теорема Стюарта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рис. 1

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Она утверждает, что, если точка лежит на стороне треугольника , то

где , и (рис. 1).


Доказательства[править | править код]

Через векторное произведение[править | править код]

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения[1].

Первое уравнение домножим на , а второе на .

Теперь сложим полученные уравнения:

,

так как

.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Аналогично:

Теорема доказана.

Через теорему косинусов[править | править код]

Первое уравнение помножим на , а второе на :

Сложим уравнения:

Иначе говоря,

История[править | править код]

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение[править | править код]

Обобщение[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 30—31. — 288 с.

Литература[править | править код]

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
  • В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
  • Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.