Теорема Стюарта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рис. 1

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Она утверждает, что если точка лежит на стороне треугольника , то

где , и (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

Доказательства[править | править код]

Через произведение векторов[править | править код]

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения[1]. Представим вектор длина которого искома, двумя способами:

Первое уравнение домножим на длину , а второе — на

Теперь сложим полученные уравнения:

где так как и имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор равен

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора на самого себя:

Далее, чтобы выразить через длины, нужно найти

Отсюда окончательно получается, что

Через теорему косинусов[править | править код]

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы и смежные друг другу:

Умножим первое уравнение на , а второе — на

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

История[править | править код]

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение[править | править код]

Обобщение[править | править код]

  • Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

Примечания[править | править код]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 30—31. — 288 с.

Литература[править | править код]

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
  • В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
  • Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.