Теорема Трахтенброта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Трахтенброта — теорема о неразрешимости истинности формул логики первого порядка для конечных моделей. Была сформулирована Б. А. Трахтенбротом в 1950 г.[1] Её следствием является существование неограниченного числа формул, выражающих условие (а, следовательно, и определение) конечности множества и среди них имеется неограниченное множество независимых.[2] Также её следствием является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности (для любой аксиомы бесконечности найдется более слабая аксиома бесконечности)[3].

Пояснения[править | править код]

Существует ряд логических формул, выражающих условие конечности множества и, следовательно, являющимися его определениями, например:

  • множество конечно, если оно индуктивно;
  • множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно[4];
  • множество конечно, если оно нерефлексивно;
  • множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству[4].

Следствием теоремы Трахтеброта является существование неограниченного числа таких формул и отсутствие среди них самой слабой и самой сильной.[2]

В математической логике формула считается сильнее формулы , если следует из , но не следует из .

Другим следствием теоремы Трахтенброта является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности[3].

Примечания[править | править код]

  1. Трахтенброт Б. А. Невозможность алгорифма для пробемы разрешимости на конечных классах // Доклады АН СССР, — 1950. — Т. 70, № 4. — С. 569—572.
  2. 1 2 Трахтенброт Б. А. Определение конечного множества и дедуктивная неполнота теории множеств // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1956. — Т. 20, № 4. — С. 569—582. — URL: http://mi.mathnet.ru/izv3789
  3. 1 2 Черч, 1960, с. 330.
  4. 1 2 Френкель, 1966, с. 87.

Литература[править | править код]