Теорема Фалеса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Thales-sov.jpg
Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему.

Теорема Фалеса — одна из теорем планиметрии.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.


В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на [секущих].



Также существует обобщённая теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}.

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Обратная теорема[править | править исходный текст]

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые(параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что \frac{CB_1}{CA_1}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\ldots = {\rm idem} следует, что прямые A_1B_1||A_2B_2||\ldots.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

Пусть f — проективное соответствие между точками прямой l и прямой m. Тогда множество прямых Xf(X) будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).


В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть f — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых Xf(X) будет коника (возможно, вырожденная).


Теорема Фалеса в культуре[править | править исходный текст]

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни[1] приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Интересные факты[править | править исходный текст]

  • Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
  • Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7-9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.