Теорема Фалеса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Thales-sov.jpg
Эта теорема о параллельных прямых. Смотри также Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности.

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Формулировки[править | править вики-текст]

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также назывемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

Замечания[править | править вики-текст]

  • В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
  • Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Обратная теорема[править | править вики-текст]

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые(параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского[править | править вики-текст]

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

Пусть  — проективное соответствие между точками прямой и прямой . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).


В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть  — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых будет коника (возможно, вырожденная).


Теорема Фалеса в культуре[править | править вики-текст]

Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers[es] представила песню, посвящённую теореме[1].

Литература[править | править вики-текст]

  • Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7-9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]