Теорема Ферма о многоугольных числах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более -угольных чисел.

Примеры[править | править код]

Представления числа 23:

  • (треугольные числа)
  • (квадратные числа)

История[править | править код]

Теорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась.[1] В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел, которые совпадают с квадратом чисел.[1] Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике — «Эврика[2] и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика».[3] Полностью теорему доказал Коши в 1813 году.[1] Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах.[4]

Частные случаи[править | править код]

Наиболее интересны квадратный и треугольный случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для . А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria;история греческой алгебры, Cambridge University Press, с. 188, <https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala> .
  2. Bell, Eric Temple (1956), "Gauss, the Prince of Mathematicians", in Newman, James R., The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, с. 295–339 . Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
  3. Ono, Ken; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), "On the representation of integers as sums of triangular numbers", Aequationes Mathematicae Т. 50 (1–2): 73–94, DOI 10.1007/BF01831114 .
  4. Nathanson, Melvyn B. (1987), "A short proof of Cauchy's polygonal number theorem", Proceedings of the American Mathematical Society Т. 99 (1): 22–24, DOI 10.2307/2046263 .Nathanson, Melvyn B. (1987), "A short proof of Cauchy's polygonal number theorem", Proceedings of the American Mathematical Society Т. 99 (1): 22–24, DOI 10.2307/2046263 .

Ссылки[править | править код]