Теорема Ферма — Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит[1]:

Любое простое число , где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): n  — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Иначе говоря,

где  — простое число.


В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида входит в его разложение на простые множители в чётной степени.


Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История[править | править вики-текст]

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения[2].

Доказательство[править | править вики-текст]

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром[3]:

Инволюция конечного множества , определённая как

имеет ровно одну неподвижную точку (а именно , так как — простое), так что нечётно и инволюция также имеет неподвижную точку.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
  • Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
  • Dickson L. E.[en] History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.

Примечания[править | править вики-текст]