Теорема Харди — Рамануджана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике теорема Харди — Рамануджана[1] утверждает, что скорость роста числа различных простых делителей числа определяется функцией повторного логарифма — , а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема[править | править код]

Пусть действительная функция такова, что , и пусть  — число натуральных чисел , для которых выполнено следующее неравенство

или более традиционно

, где

Тогда

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиления[править | править код]

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа .

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными . Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.

Примечания[править | править код]

  1. Hardy, G. H.; Ramanujan, S. (1917), "The normal number of prime factors of a number", Quarterly Journal of Mathematics, 48: 76—92 Архивная копия от 21 мая 2013 на Wayback Machine