Теорема Хелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
На плоскости, непустое пересечения всех троек выпуклых фигур влечёт, что пересечение всех непусто

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.

Формулировки[править | править код]

Конечные семейства[править | править код]

Предположим, что

есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства , такое что пересечение любых из них непусто.

Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть

.[1]

Бесконечные семейства[править | править код]

Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств , такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

Следствия[править | править код]

  • Теорема Юнга: Пусть есть конечное множество точек в -мерном евклидовом пространстве такое, что любые точек из можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество можно накрыть единичным шаром.
  • Радиус Юнга: Пусть — множество точек в -мерном евклидовом пространстве , с диаметром . Тогда существует -мерный замкнутый шар радиуса , такой что . Если множество не принадлежит никакому меньшему шару, то содержит вершины -симплекса с длиной каждого ребра .[2]
  • Теорема Киршбрауна

Вариации и обобщения[править | править код]

История[править | править код]

Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923[3], уже после публикаций Радона[4] и Кёнига[5].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. - М., МГУ, 1987. - c. 177
  2. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 293
  3. E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (недоступная ссылка), — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
  4. J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (недоступная ссылка), — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
  5. D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.

Литература[править | править код]