Теорема Чевы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Teorema chevy.png

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Формулировка[править | править код]

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

Замечания[править | править код]

Эта теорема является аффинной, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщения[править | править код]

Теорема Чевы для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.
  • Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки лежат на продолжениях сторон . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков и и обозначается
    • Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:
  • Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда ее называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечетное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в [1])
  • Тригонометрическая теорема Чевы:
При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть есть угол, на который надо повернуть прямую против часовой стрелки, чтоб получить прямую .

О доказательствах[править | править код]

Известны доказательства

Сам Чева привёл доказательство с помощью центров масс, а также ещё два геометрических доказательства.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. 153 с.