Теорема Чевы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Teorema chevy.png

Теорема Чевы — классическая теорема геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Формулировка[править | править код]

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

Замечания[править | править код]

Эта теорема аффинная, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщения[править | править код]

Теорема Чева для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.
  • Эту теорему можно обобщить на случай когда точки лежат на продолжениях сторон . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков и и обозначается
    • Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые

конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:

  • Тригонометрическая теорема Чевы:
При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть есть угол, на который надо повернуть прямую против часовой стрелки, чтоб получить прямую .

О доказательствах[править | править код]

Наиболее прямое доказательство получается многократным применением теоремы Фалеса. Известны доказательства

Сам Чева привёл доказательство с помощью центров масс, а также ещё два геометрических доказательства.

Литература[править | править код]