Теорема Гюйгенса — Штейнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Штейнера»)
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация теоремы для момента площади.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции J тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями[1]:

J=J_C+md^2\,\!

где

J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
m — масса тела,
d — расстояние между указанными осями.

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса

Вывод[править | править вики-текст]

Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек[2].

По определению момента инерции для J_C и J можно записать

J_C=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2
J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r'}_i)^2,

где \vec{r}радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а \vec{r'} — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.

Радиус-вектор \vec{r'}_i\,\! можно расписать как сумму двух векторов:

\vec{r'}_i=\vec{r}_i+\vec{d}\,\!,

где \vec{d} — радиус-вектор расстояния между старой и новой (проходящей через центр масс) осями вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i \vec{d} + \sum_{i=1}^n m_i (\vec{d})^2.

Вынося за сумму \vec{d}, получим:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \vec{d} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i + d^2 \sum_{i=1}^n m_i.

По определению центра масс для его радиус-вектора  \vec r_c выполняется

 \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i}.

Поскольку в системе координат с началом, расположенном в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i.

Тогда:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + d^2 \sum_{i=1}^n m_i.

Откуда и следует искомая формула:

J=J_C + m d^2\,\!,

где J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Следствие. Из полученной формулы очевидно, что J > J_C. Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.

Пример[править | править вики-текст]

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C) равен

J_C=\frac{mL^2}{12}.

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

J=J_C+md^2\,\!

где d — расстояние между искомой осью и осью C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d=L/2:

J=J_C+m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{4}=\frac{mL^2}{3}.

Пересчёт тензора инерции[править | править вики-текст]

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор \mathbf{J}_{ij} относительно произвольной точки из тензора \mathbf{I}_{ij} относительно центра масс. Пусть \mathbf{a} — смещение от центра масс, тогда

\mathbf{J}_{ij}=\mathbf{I}_{ij}+m(a^2\delta_{ij}-a_ia_j),

где

\mathbf{a}=a_1\mathbf{\hat{x}}+a_2\mathbf{\hat{y}}+a_3\mathbf{\hat{z}} — вектор смещения от центра масс, а \delta_{ij} — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при i=j) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — 11-е изд. — М.: «Высшая школа», 1995. — С. 268—269. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  2. Абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек, — это такая механическая система, у которой расстояния между составляющими её точками постоянны