Теорема Штейнера — Лемуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Штейнера — Лемуса теорема геометрии треугольника. Известно как пример с виду простого утверждения которое не имеющет простого классического доказательства, хотя есть несложное аналитическое доказательство.

Формулировка[править | править код]

Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.

История доказательства[править | править код]

Доказательство было дано в работах немецких геометров Якоба Штейнера и ДэниэлаЛемуса.

В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших[1], по мнению редакции, использует метод от противного и окружность, проходящую через 4 точки как дополнительное построение.

В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если угол, биссектриса этого угла и сторона, противолежащая этому углу, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник Боттема (нидерл.) — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]