Теорема Штейнера — Лемуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Штейнера — Лемуса теорема геометрии треугольника. Известно как с виду простое утверждение которое не имеет простого классического доказательства, хотя алгебраическое доказательство можно легко провести аналитически.

Формулировка[править | править вики-текст]

Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.

История доказательства[править | править вики-текст]

Впервые доказательство было дано в работах немецких геометров Штейнера и Лемуса. С тех пор это утверждение носит их имя.

В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в[1]. Оно строится от противного, далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.

В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник Боттема (голл.) — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]