Теорема котангенсов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Общий вид треугольника

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Формулировка[править | править код]

Пусть

 — длины трёх сторон треугольника,
 — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон ,
— радиус вписанной окружности треугольника и
— полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:[1]

,
,
,

или эквивалентно:

.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение[править | править код]

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Следствия[править | править код]

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности . Далее, так как площадь треугольника , из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.


См. также[править | править код]