Теорема об открытом отображении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема об открытом отображении утверждает

Линейный непрерывный оператор , отображающий банахово пространство на все банахово пространство , является открытым отображением, то есть открыто в для любого , открытого в ;


Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве со значениями в (или в ).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:

Непрерывный линейный оператор , отображающий взаимно однозначно банахово пространство на банахово пространство , является гомеоморфизмом, то есть ― также линейный непрерывный оператор.


Обобщения[править | править вики-текст]

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:

Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство на бочечное пространство , есть открытое отображение.


См. также[править | править вики-текст]