Теорема о внешнем угле треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине

Теорема о внешнем угле треугольника — одна из основных теорем планиметрии.

Формулировка[править | править код]

Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

  • Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180° не включительно.
  • Теорема о внешнем угле треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом. Иными словами, (см. рис.):

Доказательство (в обозначениях рис. выше)[править | править код]

Утверждение теоремы следует из теоремы о сумме углов треугольника, равной 180°.

Пусть ABC — произвольный треугольник с внешним углом d. Так как углы b и d — смежные, то их сумма равна 180°, то есть угол d = 180° — b. По теореме о сумме углов треугольника, угол b = 180° — (a + c). Из этого следует, что углы a + c = 180 — b. Так как d также равен 180 — b, то угол d = a + c. Что и требовалось доказать.

С другой стороны, если выполняется Теорема о внешнем угле треугольника, тогда справедливы следующая логическая цепь равенств:

.
Иллюстрация к евклидовому доказательству теоремы о внешнем угле треугольника

История[править | править код]

В евклидовом доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника, принадлежащем Евклиду, (а также и результата о том, то сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°) сначала проводится прямая, параллельна стороне AB, проходящая через вершину C, а затем, используя свойство соответственных углов при двух параллельных прямых и одной секущей и о внутренних накрест лежащих углах при двух параллельных прямых, требуемое утверждение получают как иллюстрацию (см. рис.).[1].

Применение[править | править код]

Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.

Примечания[править | править код]

  1. Heath, 1956, Vol. 1, p. 316

Литература[править | править код]

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
  • Henderson, David W. & Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8 
  • Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3 
  • Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill 
  • Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, Franklin Lakes, NJ: Career Press, с. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7