Теорема о двух милиционерах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики функций , и

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция такая, что для всех в некоторой окрестности точки , причём функции и имеют одинаковый предел при , то существует предел функции при , равный этому же значению, то есть

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность такая, что для всех ,причём последовательности и имеют одинаковый предел при , то существует предел последовательности при , равный этому же значению, то есть

Доказательство[править | править вики-текст]

Из неравенства получаем неравенство . Тогда верно неравенство . Условие позволяет предположить, что для любого существует окрестность , в которой верны неравенства и . Из изложенной выше оценки максимумом следует, что при , что удовлетворяет определению предела, то есть [1].

Название и зарубежная терминология[править | править вики-текст]

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. — М.: АСТ; Астрель, 2007. — С. 121-122. — ISBN 978-5-17-004601-0 ; 978-5-271-01318-8 ; 978-985-16-4561-5.

Ссылки[править | править вики-текст]