Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

$y=f(x)$$y=f(x)$,   $f:X\to Y$$f:X\to Y$,

заданной уравнением

$F(x,y)=z_{0}$$F(x,y)=z_{0}$,   $F:X\times Y\to Z$$F:X\times Y\to Z$

и значение $z_{0}\in Z$$z_{0}\in Z$ фиксировано.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$$F:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна в некоторой окрестности точки $(x_{0},y_{0})$$(x_{0},y_{0})$ $F(x_{0},y_{0})=0$$F(x_{0},y_{0})=0$ и при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_{x}\times I_{y}$$I=I_{x}\times I_{y}$, являющийся окрестностью точки $(x_{0},y_{0})$$(x_{0},y_{0})$, и такая непрерывная функция $f:I_{x}\to I_{y}$$f:I_{x}\to I_{y}$, что для любой точки $(x,y)\in I$$(x,y)\in I$ $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$

Обычно дополнительно предполагается, что функция $F$$F$ является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $(x_{0},y_{0})$$(x_{0},y_{0})$. В том случае строгая монотонность следует из условия $F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0\quad$$F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0\quad$, где $F_{y}'$$F_{y}'$ обозначает частную производную $F$$F$ по $y$$y$. Более того, в этом случае функция $f$$f$ также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

$f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.$$f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.$

Многомерный случай

Пусть $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$$\mathbb{R} ^{m}$ — пространства с координатами $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$$x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ и $y=(y_{1},\dots ,y_{m})$$y=(y_{1},\dots ,y_{m})$, соответственно. Рассмотрим отображение $F=(F_{1},\ldots ,F_{m}),$$F=(F_{1},\ldots ,F_{m}),$ $F_{i}=F_{i}(x,y),$$F_{i}=F_{i}(x,y),$ которое отображает некоторую окрестность $W$$W$ точки $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$$(x_{0},y_{0})\in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}$ в пространство $\mathbb {R} ^{m}$$\mathbb{R} ^{m}$.

Предположим, что отображение $F$$F$ удовлетворяет следующим условиямː $F\in C^{k}(W),$$F\in C^{{k}}(W),$ $k\geq 1,$$k\geq 1,$ т.е. $F$$F$ является $k$$k$ раз непрерывно дифференцируемым в $W,$$W,$ $F(x_{0},y_{0})=0,$$F(x_{0},y_{0})=0,$ якобиан отображения $y\mapsto F(x_{0},y)$$y\mapsto F(x_{0},y)$ не равен нулю в точке $y_{0},$$y_0,$ т.е. определитель матрицы ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$${\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ не равен нулю. Тогда существуют окрестности $U$$U$ и $V$$V$ точек $x_{0}$$x_{0}$ и $y_{0}$$y_0$ в пространствах $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$$\mathbb{R} ^{m}$ соответственно, причём $U\times V\subset W$$U\times V\subset W$, и отображение $f:U\to V,$$f:U\to V,$ $f\in C^{k}(U),$$f\in C^{{k}}(U),$ такие, что $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$ для всех $x\in U$$x\in U$ и $y\in V$$y\in V$. Отображение $f$$f$ определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː

Предположим, что отображение $F$$F$ удовлетворяет следующим условиямː $F$$F$ является непрерывным в $W,$$W,$ $F(x_{0},y_{0})=0,$$F(x_{0},y_{0})=0,$ существуют окрестности $U$$U$ и $V$$V$ точек $x_{0}$$x_{0}$ и $y_{0}$$y_0$ в пространствах $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$$\mathbb{R} ^{m}$ соответственно, причём $U\times V\subset W$$U\times V\subset W$, такие, что для каждого фиксированного $x\in U$$x\in U$ отображение $y\mapsto F(x,y)$$y\mapsto F(x,y)$ является взаимно однозначным в $V$$V$. Тогда существует такое непрерывное отображение $f:U\to V$$f:U\to V$, что $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$ для всех $x\in U$$x\in U$ и $y\in V$$y\in V$.

См. также

• Теорема об обратной функции

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 - §33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972