Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции , то есть функции
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
,
заданной уравнением
F
(
x
,
y
)
=
z
0
{\displaystyle F(x,y)=z_{0}}
,
F
:
X
×
Y
→
Z
{\displaystyle F:X\times Y\to Z}
и значение
z
0
∈
Z
{\displaystyle z_{0}\in Z}
фиксировано.
Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.
Если функция
F
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
непрерывна в некоторой окрестности точки
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}
и
при фиксированном
x
{\displaystyle x}
функция
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
строго монотонна по
y
{\displaystyle y}
в данной окрестности,
тогда найдётся такой двумерный промежуток
I
=
I
x
×
I
y
{\displaystyle I=I_{x}\times I_{y}}
, являющийся окрестностью точки
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
, и такая непрерывная функция
f
:
I
x
→
I
y
{\displaystyle f:I_{x}\to I_{y}}
, что для любой точки
(
x
,
y
)
∈
I
{\displaystyle (x,y)\in I}
F
(
x
,
y
)
=
0
⇔
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}
Обычно дополнительно предполагается, что функция
F
{\displaystyle F}
является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
. В том случае строгая монотонность следует из условия
F
y
′
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
{\displaystyle F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0}
, где
F
y
′
{\displaystyle F_{y}'}
обозначает частную производную
F
{\displaystyle F}
по
y
{\displaystyle y}
. Более того, в этом случае функция
f
{\displaystyle f}
также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле
f
′
(
x
)
=
−
F
x
′
(
x
,
f
(
x
)
)
F
y
′
(
x
,
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.}
Пусть
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
и
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
— пространства с координатами
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}
и
y
=
(
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{m})}
, соответственно. Рассмотрим отображение
F
=
(
F
1
,
…
,
F
m
)
,
{\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{m}),}
F
i
=
F
i
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle F_{i}=F_{i}(x,y),}
которое отображает некоторую окрестность
W
{\displaystyle W}
точки
(
x
0
,
y
0
)
∈
R
n
×
R
m
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}
в пространство
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
.
Предположим, что отображение
F
{\displaystyle F}
удовлетворяет следующим условиямː
F
∈
C
k
(
W
)
,
{\displaystyle F\in C^{k}(W),}
k
≥
1
,
{\displaystyle k\geq 1,}
то есть
F
{\displaystyle F}
является
k
{\displaystyle k}
раз непрерывно дифференцируемым в
W
,
{\displaystyle W,}
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,}
якобиан отображения
y
↦
F
(
x
0
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto F(x_{0},y)}
не равен нулю в точке
y
0
,
{\displaystyle y_{0},}
то есть определитель матрицы
∂
F
∂
y
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}
не равен нулю.
Тогда существуют окрестности
U
{\displaystyle U}
и
V
{\displaystyle V}
точек
x
0
{\displaystyle x_{0}}
и
y
0
{\displaystyle y_{0}}
в пространствах
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
и
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
соответственно, причём
U
×
V
⊂
W
{\displaystyle U\times V\subset W}
, и отображение
f
:
U
→
V
,
{\displaystyle f:U\to V,}
f
∈
C
k
(
U
)
,
{\displaystyle f\in C^{k}(U),}
такие, что
F
(
x
,
y
)
=
0
⇔
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}
для всех
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
и
y
∈
V
{\displaystyle y\in V}
.
Отображение
f
{\displaystyle f}
определено однозначно.
Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː[1]
Предположим, что отображение
F
{\displaystyle F}
удовлетворяет следующим условиямː
F
{\displaystyle F}
является непрерывным в
W
,
{\displaystyle W,}
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,}
существуют окрестности
U
{\displaystyle U}
и
V
{\displaystyle V}
точек
x
0
{\displaystyle x_{0}}
и
y
0
{\displaystyle y_{0}}
в пространствах
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
и
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
соответственно, причём
U
×
V
⊂
W
{\displaystyle U\times V\subset W}
, такие, что для каждого фиксированного
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
отображение
y
↦
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto F(x,y)}
является взаимно однозначным в
V
{\displaystyle V}
.
Тогда существует такое непрерывное отображение
f
:
U
→
V
{\displaystyle f:U\to V}
, что
F
(
x
,
y
)
=
0
⇔
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}
для всех
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
и
y
∈
V
{\displaystyle y\in V}
.
Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972
↑ Jittorntrum, K. An implicit function theorem. J. Optim. Theory Appl. 25 (1978), no. 4, 575—577.