Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

$y=f(x)$,   $f:X\to Y$,

заданной уравнением

$F(x,y)=z_0$,   $F:X\times Y\to Z$

и значение $z_0\in Z$ фиксировано.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\R\times\R\to\R$ непрерывна в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ $F(x_0,y_0)=0$ и при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_x \times I_y$, являющийся окрестностью точки $(x_0,y_0)$, и такая непрерывная функция $f:I_x\to I_y$, что для любой точки $(x,y) \in I$ $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$

Обычно дополнительно предполагается, что функция $F$ является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $(x_0,y_0)$. В том случае строгая монотонность следует из условия $F_y'(x_0,y_0)\ne 0\quad$, где $F_y'$ обозначает частную производную $F$ по $y$. Более того, в этом случае функция $f$ также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

$f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.$

Многомерный случай

Пусть $\R^n$ и $\R^m$ — пространства с координатами $x=(x_1,\dots,x_n)$ и $y=(y_1,\dots,y_m)$, соответственно. Рассмотрим отображение $F=(F_1,\ldots,F_m),$ $F_i = F_i(x,y),$ которое отображает некоторую окрестность $W$ точки $(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m$ в пространство $\R^m$.

Предположим, что отображение $F$ удовлетворяет следующим условиямː $F \in C^{k}(W),$ $k \geq 1,$ т.е. $F$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым в $W,$ $F(x_0,y_0)=0,$ якобиан отображения $y\mapsto F(x_0,y)$ не равен нулю в точке $y_0,$ т.е. определитель матрицы $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ не равен нулю. Тогда существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ в пространствах $\R^n$ и $\R^m$ соответственно, причём $U\times V\subset W$, и отображение $f : U \to V,$ $f \in C^{k}(U),$ такие, что $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$ для всех $x \in U$ и $y \in V$. Отображение $f$ определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː

Предположим, что отображение $F$ удовлетворяет следующим условиямː $F$ является непрерывным в $W,$ $F(x_0,y_0)=0,$ существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ в пространствах $\R^n$ и $\R^m$ соответственно, причём $U\times V\subset W$, такие, что для каждого фиксированного $x \in U$ отображение $y\mapsto F(x,y)$ является взаимно однозначным в $V$. Тогда существует такое непрерывное отображение $f : U \to V$, что $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$ для всех $x \in U$ и $y \in V$.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.