Теорема о неявной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

,   ,

заданной уравнением

,   

и значение фиксировано.

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция

  • непрерывна в некоторой окрестности точки
  • и
  • при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток , являющийся окрестностью точки , и такая непрерывная функция , что для любой точки


Обычно дополнительно предполагается, что функция является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки . В том случае строгая монотонность следует из условия , где обозначает частную производную по . Более того, в этом случае функция также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Пусть и — пространства с координатами и , соответственно. Рассмотрим отображение которое отображает некоторую окрестность точки в пространство .

Предположим, что отображение удовлетворяет следующим условиямː

  • т.е. является раз непрерывно дифференцируемым в
  • якобиан отображения не равен нулю в точке т.е. определитель матрицы не равен нулю.

Тогда существуют окрестности и точек и в пространствах и соответственно, причём , и отображение такие, что

для всех и . Отображение определено однозначно.


Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː[1]

Предположим, что отображение удовлетворяет следующим условиямː

  • является непрерывным в
  • существуют окрестности и точек и в пространствах и соответственно, причём , такие, что для каждого фиксированного отображение является взаимно однозначным в .

Тогда существует такое непрерывное отображение , что

для всех и .


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
  • Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
  • Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 - §33
  • Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jittorntrum, K. An implicit function theorem. J. Optim. Theory Appl. 25 (1978), no. 4, 575–577.