Теорема о промежуточном значении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .


Следствия[править | править вики-текст]

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание[править | править вики-текст]

  • Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.[2]

Обобщение[править | править вики-текст]

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История[править | править вики-текст]

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — 528 с.