Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Разбиение квадрата на 6 равновеликих треугольников.

Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади[1].

Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.

История[править | править код]

Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году[2].

О доказательстве[править | править код]

Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.

Главные свойства раскраски состоят в следующем:

  1. Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
    • В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
  2. Любая прямая окрашена ровно в два цвета.

Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • -мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно [3][4].
  • Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
  • Для целого числа , правильный -угольник допускает разрезание на равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда делится на [5].
  • Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы[6][7].

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. One square and an odd number of triangles // Proofs from The Book. — 4th. — Berlin, 2010. — С. 131–138. — ISBN 978-3-642-00856-6. — doi:10.1007/978-3-642-00856-6_20.
  2. ↑ P. Monsky. On Dividing a Square into Triangles (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1970. — Vol. 77, no. 2. — P. 161—164. — doi:10.2307/2317329. MR: 0252233.
  3. ↑ Mead, David G. (September 1979), "Dissection of the hypercube into simplexes", Proceedings of the American Mathematical Society, 76: 302—304, doi:10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6, Zbl 0423.51012
  4. ↑ Sperner’s Lemma Архивная копия от 19 апреля 2016 на Wayback Machine, Moor Xu
  5. ↑ E. A. Kasimatis, Dissections of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry, August 1989, Volume 4, Issue 4, pp 375—381
  6. ↑ Монски, Пауль (1990), "A conjecture of Stein on plane dissections", Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583—592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876
  7. ↑ Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282

Литература[править | править код]

Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_о_разрезании_квадрата_на_равновеликие_треугольники&oldid=124806259