Теорема о секущих

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Theoremsecants.png

Теорема о секущих — теорема планиметрии. Формулируется следующим образом:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Если перевести это утверждение на язык букв (согласно рисунку справа), то получится следующее:

AB\cdot AC = AD\cdot AE

Theoremtangentsecant.png

Частным случаем теоремы о секущих является Теорема о касательной и секущей:

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

AD^2 = AB\cdot AC


Значением такого произведения оказывается степень точки относительно данной окружности.

Доказательство теоремы о секущей и касательной:[править | править вики-текст]

Секущая.png

Проведём отрезки BD и CD (см. рисунок). Треугольники ABD и ACD подобны: угол A у них общий, а углы BDA и C равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги BD. Из подобия следует соотношение \frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AC}, откуда получаем AD^2 = AB\cdot AC. Теорема доказана.

Поскольку секущая выбрана произвольно, то данное соотношение будет выполняться для любой секущей. Следовательно доказана и теорема о двух секущих.

Ссылки[править | править вики-текст]