Теорема о секущих

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Theoremsecants.png

Теорема о секущих — теорема планиметрии. Формулируется следующим образом:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Если перевести это утверждение на язык букв (согласно рисунку справа), то получится следующее:

Theoremtangentsecant.png

Частным случаем теоремы о секущих является Теорема о касательной и секущей:

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.


Значением такого произведения оказывается степень точки относительно данной окружности.

Доказательство теоремы о касательной и секущей:[править | править код]

Секущая.png

Проведём отрезки  и  (см. рисунок). Треугольники  и  подобны: угол  у них общий, а углы  и  равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги . Из подобия следует соотношение , откуда получаем .

Поскольку секущая выбрана произвольно, то данное соотношение будет выполняться для любой секущей. Следовательно доказана и теорема о двух секущих.

Вариации по теме. Теорема о пресекающихся хордах[править | править код]

  • При пересечении двух хорд окружности в произвольной точке получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рисунок), т. е. .

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]