Теоремы Кельвина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны ещё две другие теоремы Томсона (Кельвина).

Теорема Кельвина о безвихревом движении[править | править вики-текст]

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.


Доказательство первой теоремы Кельвина[править | править вики-текст]

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-товихр.Что-тобезвихр.. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:

где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:

а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:

где σ — поверхность, ограничивающая объём τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:

из чего и следует теорема Кельвина.

Кинематическая теорема Кельвина[править | править вики-текст]

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.


Доказательство второй теоремы Кельвина[править | править вики-текст]

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

Теорема Кельвина о баротропной жидкости[править | править вики-текст]

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

при движении баротропной идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.


Доказательство третьей теоремы Кельвина[править | править вики-текст]

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: :

следовательно, — постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.

Литература[править | править вики-текст]

  • Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — (Классики отечественной науки). — ISBN 5-7107-6327-6.
  • Сычев В. В., Башкин В. А. Ч. I // Лекции по теоретической гидродинамике. — М.: МФТИ, 2003. — 188 с. — ISBN 5-7417-0222-8.