Теоремы Силова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Необходимые определения[править | править вики-текст]

Пусть  — конечная группа, а  — простое число, которое делит порядок . Подгруппы порядка называются -подгруппами. Выделим из порядка группы примарный делитель по , то есть , где не делится на . Тогда силовской -подгруппой называется подгруппа , имеющая порядок .

Теоремы[править | править вики-текст]

Пусть  — конечная группа. Тогда:

  1. Силовская -подгруппа существует.
  2. Всякая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе. Все силовские -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде , где  — элемент группы, а  — силовская подгруппа из теоремы 1).
  3. Количество силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю () и делит , где и .

Следствие[править | править вики-текст]

Если все делители , кроме 1, после деления на дают остаток, отличный от единицы, то в есть единственная силовская -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому не может быть простой.

Доказательства[править | править вики-текст]

Пусть  — примарный по делитель порядка .

1. Докажем теорему индукцией по порядку . При теорема верна. Пусть теперь . Пусть  — центр группы . Возможны два случая:

а) делит . Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в . Факторгруппа по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем , значит, по предположению индукции, в ней существует силовская -подгруппа. Рассмотрим её прообраз в . Он и будет нужной нам силовской -подгруппой .

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему централизатор имеет порядок pnr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть H — произвольная p-подгруппа G. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности G/P левыми сдвигами, где P — силовская p-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на p. Но |G/P| не делится на p, значит, у действия есть неподвижная точка gP. Получаем , а значит, , то есть H лежит целиком в некоторой силовской p-подгруппе.

Если при этом H — силовская p-подгруппа, то она сопряжена с P.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:NG(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в NG(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем .

Нахождение силовской подгруппы[править | править вики-текст]

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература[править | править вики-текст]

  • А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
  • Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.