Теоремы об изоморфизме

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Первая теорема об изоморфизме

Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала Эмми Нётер.

Группы[править | править исходный текст]

Первая теорема[править | править исходный текст]

Пусть \varphi\colon\ G\to H — гомоморфизм групп, тогда:

  1. Ядро φ — нормальная подгруппа в G;
  2. Образ φ — подгруппа в H;
  3. Образ φ изоморфен факторгруппе G / ker φ.

В частности, если гомоморфизм φ сюръективен (т.е. является эпиморфизмом), то группа H изоморфна факторгруппе G / ker φ.

Вторая теорема[править | править исходный текст]

Пусть G — группа, S — подгруппа в G, N — нормальная подгруппа в G, тогда:

  1. Произведение S N — подгруппа в G;
  2. Пересечение S ∩ N — нормальная подгруппа в S;
  3. Факторгруппы (S N) / N и S / (S ∩ N) изоморфны.

Третья теорема[править | править исходный текст]

Пусть G — группа, N и K — нормальные подгруппы в G такие, что K ⊆ N, тогда:

  1. N / K — нормальная подгруппа в G / K;
  2. Факторгруппа факторгрупп (G / K) / (N / K) изоморфна факторгруппе G / N.

Кольца[править | править исходный текст]

В данной области понятие нормальной подгруппы заменяется на понятие идеала кольца.

Первая теорема[править | править исходный текст]

Пусть \varphi\colon\ R\to S гомоморфизм колец, тогда:

  1. Ядро φ — идеал в R;
  2. Образ φ — подкольцо в S;
  3. Образ φ изоморфен факторкольцу R / ker φ.

В частности, если гомоморфизм φ сюръективен (т.е. является эпиморфизмом), то кольцо S изоморфно факторкольцу R / ker φ.

Вторая теорема[править | править исходный текст]

Пусть R — кольцо, S — подкольцо в R, I — идеал в R, тогда:

  1. Сумма S + I — подкольцо в R;
  2. Пересечение S ∩ I — идеал в S;
  3. Факторкольца (S + I) / I и S / (S ∩ I) изоморфны.

Третья теорема[править | править исходный текст]

Пусть R — кольцо, A и B — идеалы в R такие, что B ⊆ A, тогда:

  1. A / B — идеал в R / B;
  2. Факторкольцо факторколец (R / B) / (A / B) изоморфно факторкольцу R / A.

Модули, абелевы группы и линейные пространства[править | править исходный текст]

Теоремы об изоморфизме абелевых групп и линейных пространств являются частным случаем теорем для модулей, которые и будут сформулированы. Для линейных пространств дополнительную информацию можно найти в статье «ядро линейного отображения».

Первая теорема[править | править исходный текст]

Пусть \varphi\colon\ M\to N — гомоморфизм модулей, тогда:

  1. Ядро φ — подмодуль в M;
  2. Образ φ — подмодуль в N;
  3. Образ φ изоморфен фактормодулю M / ker φ.

Вторая теорема[править | править исходный текст]

Пусть M — модуль, S и T — подмодули в M, тогда:

  1. Сумма S + T — подмодуль в M;
  2. Пересечение S ∩ T — подмодуль в M;
  3. Фактормодуль (S + T) / T изоморфен фактормодулю S / (S ∩ T).

Третья теорема[править | править исходный текст]

Пусть M — модуль, S и T — подмодули в M такие, что T ⊆ S, тогда:

  1. S / T — подмодуль в M / T;
  2. Фактормножество фактормодулей (M / T) / (S / T) изоморфно фактормодулю M / S.

См. также[править | править исходный текст]