Теория Галуа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочленарациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Приложения[править | править вики-текст]

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
  2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней[править | править вики-текст]

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение[править | править вики-текст]

У многочлена второй степени имеются два корня и , симметричных относительно точки . Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональны, то уравнению удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент , и изоморфна .

Более сложный пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим теперь многочлен .

Его корни: .

Существует различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — . Поскольку , перестановка не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что , но . Поэтому перестановка не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

и является четверной группой Клейна, изоморфной .

Формулировка в терминах теории полей[править | править вики-текст]

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах[править | править вики-текст]

Решения полиномиального уравнения выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения разрешима.

Для любого существует уравнение -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы при не являются разрешимыми, существуют многочлены степени , корни которых не представимы при помощи радикалов — Теорема Абеля — Руффини.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.