Теория Фредгольма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, теория Фредгольма — это теория интегральных уравнений. В узком смысле, теория Фредгольма имеет отношение к решению интегрального уравнения Фредгольма. В широком смысле, абстрактная структура теории Фредгольма описывается в терминах спектральной теории операторов Фредгольма и ядер Фредгольма на гильбертовом пространстве. Данная теория названа в честь Эрика Ивара Фредгольма.

Однородные уравнения[править | править исходный текст]

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения

g(x)=\int_a^b K(x,y) f(y)\,dy.

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение

Lg(x)=f(x),

где функция f задана, а g неизвестна. Здесь, L – линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за L эллиптический оператор, такой как

L=\frac{d^2}{dx^2}\,

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение

LK(x,y) = \delta(x-y)

где \delta(x)дельта-функция Дирака. Далее желаемое решение данного уравнения пишется как

g(x)=\int K(x,y) f(y)\,dy.

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция K(x,y) известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, x и y могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или m-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

L\psi_n(x)=\omega_n \psi_n(x),

где \omega_n – собственные числа, а \psi_n(x) – собственные вектора. Множество собственных векторов образует Банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и Гильбертово пространство, на котором применима теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать Гильбертово пространство, как это было сделано выше, то ядро может быть записано в форме

K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^*(x) \psi_n(y)} {\omega_n},

где \psi_n^* - двойственен к \psi_n. В данной форме, объект K(x,y) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно, имеем:

\delta(x-y)=\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(y).

Поскольку \omega_n обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора K(x,y) убывают к нулю.

Неоднородные уравнения[править | править исходный текст]

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма

f(x)=- \omega \phi(x) + \int K(x,y) \phi(y)\,dy

Может быть написано формально как

f = (K-\omega) \phi

Тогда формальное решение

\phi=\frac{1}{K-\omega} f.

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

R(\omega)= \frac{1}{K-\omega I}.

Заданному набору собственных векторов и собственных значений K можно сопоставить резольвенту конкретного вида

R(\omega; x,y) = \sum_n \frac{\psi_n^*(y)\psi_n(x)}{\omega_n - \omega}

с решением:

\phi(x)=\int R(\omega; x,y) f(y)\,dy.

Необходимое и достаточное условие существования такого решения – одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням \lambda=1/\omega, в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как

g(x)= \phi(x) - \lambda \int K(x,y) \phi(y)\,dy

А резольвента пишется в альтернативной форме:

R(\lambda)= \frac{1}{I-\lambda K}.

Определитель Фредгольма[править | править исходный текст]

Определитель Фредгольма обычно определяется как

\det(I-\lambda K) = \exp \left[
-\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \operatorname{Tr}\, K^n \right],

где \operatorname{Tr}\, K = \int K(x,x)\,dx, \operatorname{Tr}\, K^2 = \iint K(x,y) K(y,x) \,dx\,dy и т. д. Соответствующая дзета-функция:

\zeta(s) = \frac{1}{\det(I-s K)}.

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты.

Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем. Отметим, что это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана; тем не менее, в этом случае, соответствующее ядро не известно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта-Пойа.

Основные результаты[править | править исходный текст]

Классические результаты данной теории – это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро – это компактный оператор, где пространство функций – это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу (dim ker - dim coker) эллиптических операторов на компактных многообразиях.

История[править | править исходный текст]

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica – одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие Гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений, подсказанных Фредгольмом.

Ссылки[править | править исходный текст]