Теория Фредгольма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.

Однородные уравнения[править | править вики-текст]

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

g(x)=\int_a^b K(x,y) f(y)\,dy.

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

Lg(x)=f(x),

где функция f — задана, а g — неизвестна. Здесь L — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за L эллиптический оператор:

L=\frac{d^2}{dx^2},

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

LK(x,y) = \delta(x-y),

где \delta(x) — дельта-функция Дирака. Далее:

g(x)=\int K(x,y) f(y)\,dy.

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция K(x,y) известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, x и y могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или m-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

L\psi_n(x)=\omega_n \psi_n(x),

где \omega_n — собственные числа, а \psi_n(x) — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^*(x) \psi_n(y)} {\omega_n},

где \psi_n^* — двойственен к \psi_n. В данной форме, объект K(x,y) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

\delta(x-y)=\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(y).

Поскольку \omega_n обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора K(x,y) убывают к нулю.

Неоднородные уравнения[править | править вики-текст]

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

f(x)=- \omega \phi(x) + \int K(x,y) \phi(y)\,dy

может быть написано формально как:

f = (K-\omega) \phi.

Тогда формальное решение:

\phi=\frac{1}{K-\omega} f.

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

R(\omega)= \frac{1}{K-\omega I}.

Заданному набору собственных векторов и собственных значений K можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

R(\omega; x,y) = \sum_n \frac{\psi_n^*(y)\psi_n(x)}{\omega_n - \omega}

с решением:

\phi(x)=\int R(\omega; x,y) f(y)\,dy.

Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням \lambda=1/\omega, в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

g(x)= \phi(x) - \lambda \int K(x,y) \phi(y)\,dy

Резольвента пишется в альтернативной форме:

R(\lambda)= \frac{1}{I-\lambda K}.

Определитель Фредгольма[править | править вики-текст]

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

\det(I-\lambda K) = \exp \left[
-\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \operatorname{Tr}\, K^n \right],

где \operatorname{Tr}\, K = \int K(x,x)\,dx, \operatorname{Tr}\, K^2 = \iint K(x,y) K(y,x) \,dx\,dy и так далее. Соответствующая дзета-функция:

\zeta(s) = \frac{1}{\det(I-s K)}.

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа[en].

Основные результаты[править | править вики-текст]

Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.

История[править | править вики-текст]

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.

Ссылки[править | править вики-текст]