Теория Фредгольма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.

Однородные уравнения[править | править вики-текст]

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

.

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

,

где функция  — задана, а  — неизвестна. Здесь  — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за эллиптический оператор:

,

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

,

где  — дельта-функция Дирака. Далее:

.

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, и могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или -мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

,

где  — собственные числа, а  — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

,

где  — двойственен к . В данной форме, объект часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

.

Поскольку обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора убывают к нулю.

Неоднородные уравнения[править | править вики-текст]

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

может быть написано формально как:

.

Тогда формальное решение:

.

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

.

Заданному набору собственных векторов и собственных значений можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

с решением:

.

Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням , в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

Резольвента пишется в альтернативной форме:

.

Определитель Фредгольма[править | править вики-текст]

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

,

где , и так далее. Соответствующая дзета-функция:

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа[en].

Основные результаты[править | править вики-текст]

Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.

История[править | править вики-текст]

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.

Ссылки[править | править вики-текст]