Теория Ходжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры[править | править вики-текст]

Когомологии де Рама[править | править вики-текст]

Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многобразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ωk(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

где dk обозначает внешнюю производную на Ωk(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый достаточно потребовать, чтобы для всех αΩk(M) и βΩk+1(M) выполнялось соотношение

где  — метрика, индуцированная на . Теперь лапласиан можно определить как . Это позволяет определить пространства гармонических форм:

Можно показать, что , поэтому существует каноническое отображение . Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что  — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многобразии конечномерны. Это следует из того, что операторы эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Теория Ходжа для эллиптических комплексов[править | править вики-текст]

Структуры Ходжа[править | править вики-текст]

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства структура Ходжа на  — это разложение его комплексификации в -градуированную прямую сумму

причём комплексное сопряжение на переставляет градуированные слагаемые и :

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами неособого комплексного проективного многообразия имеют такую структуру Ходжа:

где  — группы когомологий Дольбо многообразия . Отсюда следует связь между числами Бетти и :

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков , в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии[en].

Литература[править | править вики-текст]

  • Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6.
  • К. Вуазен. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6.