Теория Черна — Саймонса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория Черна — Саймонса — это трёхмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, предложенная Эдвардом Виттеном. Названа в честь геометров Чжень Синшэня (Черна) и Джеймса Саймонса. Теория получила такое название, потому что её действие пропорционально форме Черна — Саймонса.

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Теория Черна — Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, называемой калибровочной группой теории, и числом k, которое входит как множитель в действие и называется уровнем теории. Действие теории зависит от выбора калибровки, но производящая функция квантовой теории поля однозначно определена при целочисленном значении уровня.

Классическая теория[править | править вики-текст]

Теория Черна — Саймонса может быть задана на произвольном топологическом 3-многообразии M с границей или без. Так как эта теория типа Шварца, нет необходимости во введении метрики на M.

Теория Черна — Саймонса — это калибровочная теория, то есть классические полевые конфигурации в теории на M с калибровочной группой G описываются главным G-расслоением над M. Форму связности главного G-расслоения над M обозначим через , она принимает значения в алгебре Ли g. В общем случае связность A определяется на отдельных картах, значения A на разных картах связаны калибровочными преобразованиями. Калибровочные преобразования характеризуются тем, что ковариантная производная преобразуется в присоединённом представлении G.

Тогда действие записывается в виде:

Введём кривизну связности

Тогда уравнение движения примет вид

Решениями являются плоские связности, которые определяются голономиями вокруг нестягиваемых циклов на M. Плоские связности находятся в однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальной группы M в калибровочную группу G.

Хотя действие и зависит от калибровки, производящий функционал в квантовой теории хорошо определён при целом k.

Если у M есть граница , то есть дополнительные данные, которые описывают выбор тривиализации главного G-расслоения на N. Такой выбор задаёт отображение из N в G. Динамика этого отображения описывается WZW-моделью на N с уровнем k.

Рассмотрим калибровочное преобразование действия Черна — Саймонса. При калибровочном преобразовании g форма связности A преобразуется как

Для действия Черна — Саймонса имеем

Здесь

где  — форма Маурера — Картана.

Получаем добавку в действие, определённую на границе. Она выглядит как член Весса — Зумино. Из требования калибровочной инвариантности квантовых корреляторов получаем квантование k, так как функциональный интеграл должен быть однозначно определён.

Квантование[править | править вики-текст]

При каноническом квантовании теории Черна — Саймонса состояние определяется на каждой двумерной поверхности . Как в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве. Так как мы имеем дело с топологической теорией поля типа Шварца, то у нас нет предопределенного выделенного времени, поэтому  — произвольная поверхность Коши.

Коразмерность равна 1, поэтому можно разрезать вдоль и получить многообразие с границей, на котором классическая динамика описывается моделью Весса — Зумино — Новикова — Виттена. Виттен показал, что это соответствие сохраняется и в квантовой механике. То есть гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть отождествлено с пространством конформных блоков -WZW-модели с уровнем . Конформные блоки — это локально голоморфные и антиголоморфные множители, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля.

Например, если , то гильбертово пространство одномерно и существует только одно состояние. При состояния соответствуют интегрируемым представлениям уровня аффинного расширения алгебры Ли . Рассмотрение поверхностей более высокого рода не требуется для решения теории Черна — Саймонса.

Наблюдаемые[править | править вики-текст]

Наблюдаемые в теории Черна — Саймонса — это -точечные функции калибровочно-инвариантных операторов, чаще всего рассматривают петли Вильсона. Петля Вильсона — это голономия вокруг кольца в , вычисленная в некотором представлении группы . Так как мы будем рассматривать произведения петель Вильсона, то мы можем считать представления неприводимыми.

Здесь - 1-форма связности, мы берем главное значение интеграла по Коши,  — экспонента, упорядоченная вдоль пути.

Рассмотрим зацепление в , которое представляет собой набор из несвязных циклов. Особенно интересна -точечная корреляционная функция, представляющая собой произведение петель Вильсона в фундаментальном представлении вокруг этих циклов. Эту корреляционную функцию можно нормировать, разделив её на 0-точечную функцию (статсумму ).

Если  — сфера, то такие нормированные функции пропорциональны известным полиномам (инвариантам) узлов. Например, при теория Черна — Саймонса с уровнем дает

При полином HOMFLY переходит в полином Джонса. В случае получается полином Кауффмана.

Литература[править | править вики-текст]