Теория кос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример косы с тремя дугами.

Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.

Определение косы[править | править вики-текст]

Коса из нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей и в трёхмерном пространстве , содержащих упорядоченные множества точек и , и из непересекающихся между собой простых дуг , пересекающих каждую параллельную плоскость между и однократно и соединяющих точки с точками .

Обычно считается, что точки лежат на прямой в , а точки на прямой в , параллельной , причем расположены под для каждого .

Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через и , эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

Группа кос[править | править вики-текст]

Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами , где  — область между и , тождественными на . Косы и эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм , что .

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос . Единичная коса — класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса , обратная косе , определяется отражением в плоскости

Нить косы соединяет с и определяет подстановку, элемент симметрической группы . Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм на группу перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа , соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность

Эта последовательность расщепляется, поэтому группа чистых кос изоморфна итерированному полупрямому произведению свободных групп.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]