Теория линейных стационарных систем

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.

Обзор

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.

Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:

если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) —

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий —

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

для любых постоянных A и B.

• Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал $A\exp({st})$ с некоторой комплексной амплитудой $A$ и частотой $s$, то выход будет равен некоторому сигналу $B\exp({st})$ с комплексной амплитудой $B$. Отношение $B/A$ будет являться передаточной функцией системы на частоте $s$.

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразования

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — $x(t)$, где аргумент — числа действительной оси, то есть $t\in \mathbb {R}$. Линейный оператор ${\mathcal {H}}$ показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

$h(t_{1},t_{2}){\mbox{, }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} .$

Для дискретной системы:

$h[n_{1},n_{2}]{\mbox{, }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} .$

Так как ${\mathcal {H}}$ — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал $x(t)$ представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

$y(t_{1})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t_{1},t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}.$

Если линейный оператор ${\mathcal {H}}$ ко всему прочему является и стационарным, тогда

$h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )\qquad \forall \,\tau \in \mathbb {R} .$

Положив

$\tau =-t_{2},$

получим:

$h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).$

Для краткости записи второй аргумент в $h(t_{1},t_{2})$ обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

$y(t_{1})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t_{1}-t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}=(h*x)(t_{1}).$

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

$y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}].$

Импульсная переходная функция

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

$(h*\delta )(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,\delta (\tau )\,d\tau =h(t),$

Для дискретной системы:

$x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m].$

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

$h(t)=h(t,0)\ ({\mbox{with }}t=t_{1}-t_{2})$

то есть $h(t)$ — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

$x(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$

Приложив ко входу системы, получим:

${\mathcal {H}}x(t)={\mathcal {H}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$

$\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$ (так как ${\mathcal {H}}$ линейна)

$\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau ){\mathcal {H}}\delta (t-\tau )\,d\tau$ (так как $x(\tau )$ постоянна по t и ${\mathcal {H}}$ линейна)

$\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau$ (by definition of $h(t)$)

В импульсной переходной функции $h(t)$ содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

${\mathcal {H}}f=\lambda f$,

где f — собственная функция, и $\lambda$ — собственное число, константа.

Экспоненты $e^{st}$, где $s\in \mathbb {C}$ являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы $x(t)=e^{st}$. Тогда выходной сигнал системы $h(t)$ равен:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )e^{s\tau }d\tau$

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{s(t-\tau )}\,d\tau$

$\quad =e^{st}\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,d\tau$

$\quad =e^{st}H(s)$,

где

$H(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt$

зависит только от s.

Таким образом, $e^{st}$ — собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье

Основная статья: Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа

$H(s)={\mathcal {L}}\{h(t)\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt$

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида $\exp({j\omega t})$ где $\omega \in \mathbb {R}$ и $j$ — мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. $H(s)$ называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к $H(j\omega )$.

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

$y(t)=(h*x)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )d\tau$

$\quad ={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Для дискретных систем:

$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]$

$\quad ={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Некоторые свойства

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность

Основная статья: Причинная система

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

$h(t)=0\quad \forall t<0,$

Для дискретных систем:

$h[n]=0\ \forall n<0,$

где $h(t)$ — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость

Основная статья: Устойчивость BIBO

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

$||x(t)||_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{p}dt\right)^{1/p}<\infty$

и

$||y(t)||_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }|y(t)|^{p}dt\right)^{1/p}<\infty$

(то есть, максимумы абсолютных значений $x(t)$ и $y(t)$ конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, $h(t)$, должна удовлетворять выражению

$||h(t)||_{1}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty .$

Для дискретных систем:

$||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .$

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось $s=j\omega$.

См. также

• АФЧХ
• ЛАФЧХ
• Системный анализ
• Передаточная функция
• Функция Грина
• Нелинейное управление

Ссылки

• P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May.
• P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May.
• В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения (неопр.). — Л.: ЛГУ, 1980.