Теория линейных стационарных систем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.

Обзор[править | править вики-текст]

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

  • Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.

Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:

если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) —
x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)
то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий —
y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)
для любых постоянных A и B.
  • Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал с некоторой комплексной амплитудой и частотой , то выход будет равен некоторому сигналу с комплексной амплитудой . Отношение будет являться передаточной функцией системы на частоте .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразования[править | править вики-текст]

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — , где аргумент — числа действительной оси, то есть . Линейный оператор показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

Для дискретной системы:

Так как — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

Если линейный оператор ко всему прочему является и стационарным, тогда

Положив

получим:

Для краткости записи второй аргумент в обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

Импульсная переходная функция[править | править вики-текст]

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

Для дискретной системы:

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

то есть — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

Приложив ко входу системы, получим:

(так как линейна)
(так как постоянна по t и линейна)
(by definition of )

В импульсной переходной функции содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции[править | править вики-текст]

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

,

где f — собственная функция, и собственное число, константа.

Экспоненты , где являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы . Тогда выходной сигнал системы равен:

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

,

где

зависит только от s.

Таким образом, собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье[править | править вики-текст]

Преобразование Лапласа

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида где и мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к .

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

Для дискретных систем:

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность[править | править вики-текст]

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

Для дискретных систем:

где — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость[править | править вики-текст]

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

и

(то есть, максимумы абсолютных значений и конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, , должна удовлетворять выражению

Для дискретных систем:

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen (May 1995). «Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals». IEEE Trans. Signal Proc..
  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen (May 1995). «Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms». IEEE Trans. Signal Proc..
  • В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения. — Л.: ЛГУ, 1980.