Теория представлений группы Лоренца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Хендрик Антон Лоренц (справа), именем которого названа группа Лоренца, и Альберт Эйнштейн, специальная теория относительности которого является главным приложением группы Лоренца. Фотография сделана Паулем Эренфестом в 1921.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления[en]. В любой релятивистски-инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены[nb 1]. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены[nb 2] и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений полупростых алгебр Ли[en]. Конечномерные представления связной компоненты полной группы Лоренца O(3; 1) получаются путём использования соответствия Ли[en] и экспоненты матрицы. Полная теория конечномерных представлений универсальной накрывающей группы[en] (а также спинорной группы, двойное покрытие) компоненты получается, и явно задаётся в терминах действия на пространстве функций на представлениях групп и . Представления обращения времени и инверсии пространства даны в разделе «Инверсия пространства и обращение времени», завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Кратко изложены общие свойства представлений (m, n). Рассматривается действие на пространствах функций с действиями на сферических гармониках и P-символах Римана в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений конкретизирован для главной серии и дополнительной серии[en]. Наконец, дана формула Планшереля для и представления группы SO(3, 1) классифицированы и реализованы для алгебр Ли.

За разработкой теории представлений последовала разработка более общей теории представлений полупростых групп, в основном благодаря Эли Жозефу Картану и Герману Вейлю, но группа Лоренца получила особое внимание ввиду важности в физике. Существенный вклад в теорию для групп Лоренца внесли физик Юджин Вигнер и математик Валентин Баргман с их программой Баргмана — Вигнера[en][1], одно из заключений которой, грубо говоря, классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских уравнений[2]. Классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца установил PhD-кандидат Поля Дирака в теоретической физике Хариш-Чандра[en], позднее ставший математиком[nb 3] в 1947. Соответствующая классификация для группы была опубликована независимо Баргманом и Израилем Моисеевичем Гельфандом вместе с Марком Ароновичем Наймарком в том же году.

Неформальное введение содержит некоторые предварительные требования к читателю, не знакомому с теорией представлений. Стандартные результаты, использованные здесь из общей теории конечномерных представлений, очерчены в разделе «Введение в теорию конечномерных представлений». Базис алгебры Ли и другие соглашения представлены в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».

Содержание

Неформальное введение в теорию представлений[править | править код]

Цель данного раздела — проиллюстрировать роль теории представлений групп в математике и физике. Строгость и детали уходят на второй план, поскольку главная установка — зафиксировать понятие конечномерных и бесконечномерных представлений группы Лоренца. Читатели, знакомые с этими концепциями, могут пропустить этот раздел.

Приложения[править | править код]

Многие из представлений, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления возникают при описании полей в классической теории поля и, наиболее важно, в теории электромагнитного поля и частиц в релятивистской квантовой механике[en], а также как частиц и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн. Теория представлений даёт также теоретическую основу для понятия спина. Теория представлений входит также в общую теорию относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени, физика является представлением специальной теории относительности[4].

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородной группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямую физическую значимость[5][6].

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются при ограничении неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующей на гильбертовых пространствах релятивистской квантовой механике[en] и квантовой теории поля. Но они представляют также математический интерес и потенциальную прямую физическую значимость в другой роли, не просто как ограничения[7]. Имелись спекулятивные теории [8][9] (тензоры и спиноры имеют бесконечные дубликаты в экпансорах Дирака и экспинорах Хариша-Чандры), согласующиеся с релятивистской и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют те же ингредиенты.

Математика[править | править код]

Если смотреть с точки зрения математики, целью которой является классификация и описание, то теория представлений группы Лоренца с 1947 является пройденной главой. Но в связи с программой Баргмана – Вигнера, имеются (к 2006 году) нерешённые чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.

Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенную значимость для физической действительности в современных спекулятивных теориях, поскольку (обобщённая) группа Лоренца появляется как малая группа группы Пуанкаре пространственноподобных векторов в пространствах-времени более высокой размерности. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщённой) группы Пуанкаре являются так нызываемыми тахионными представлениями. Тахионы появляются в спектре бозонных струн и ассоциируются с нестабильностью вакуума [10][11]. Даже хотя тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть математически приняты для понимания теории струн. Это потому, что состояния тахиона появляются в теориях суперструн в попытке создать реалистичные модели[12].

Открытой проблемой (на 2006 год) является завершение программы Баргмана – Вигнера для группы изометрий SO(D – 2, 1) пространства-времени Ситтера dSD – 2. В идеале, физические компоненты функции волны могли бы быть реализованы на гиперболоиде dSD – 2 радиуса μ > 0, вложенном в , и соответствующие O(D − 2, 1) уравнения ковариантной волны бесконечномерного унитарного представления известны[11].

Для математиков свойственно считать группу Лоренца, большей частью, группой Мёбиуса, которой она изоморфна. Группу можно представить в терминах набора функций, определённых на сфере Римана. Они являются P-символами Римана, которые выражаются как гипергеометрические функции.

Классическая теория поля[править | править код]

Хотя электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, доказывающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. При рассмотрении квантовой теории поля (КТП), для описания которой используется вторичное квантование, исходной точкой является одно и более классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака, рассматриваются как классические поля предшествующие (вторичному) квантованию[13]. В то время как вторичное квантование и лагранжев формализм, ассоциированный с ним, не являются фундаментальными аспектами КТП[14], на самом деле ко всем теориям квантового поля можно подходить с этой стороны, включая стандартную модель[15]. В этих случаях имеются классические версии уравнений поля, вытекающих из уравнения Эйлера — Лагранжа, и полученных из лагранжиана с помощью принципа наименьшего действия. Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными и их решения (которые будут расцениваться как релятивистские функции волны согласно определению ниже) должны преобразовываться по некоторому представлению группы Лоренца.

Действие группы Лоренца на пространство конфигураций поля (конфигурация поля — это история пространства-времени конкретного решения, например, электромагнитное поле во всём пространстве во всё время является одной конфигурацией поля) напоминает действие на гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что коммутаторные скобки заменены на скобки Пуассона теории поля[13].

Релятивистская квантовая механика[править | править код]

Для целей настоящего раздела введём следующее определение[16]: Релятивистская функция волны — это множество n функций в пространстве-времени, которые преобразуются под произвольным собственным преобразованием Лоренца Λ как

где D[Λ]n-мерное матричное представление преобразования Λ, принадлежащее той же прямой сумме (m, n) представления, которое будет введено ниже.

Наиболее полезными релятивистскими квантовыми механиками одночастичных теорий (строго последовательной таковой теории не существует) являются уравнение Клейна — Гордона[17] и уравнение Дирака[18] в их оригинальном виде. Они релятивистски инварианты и их решения преобразуются под группой Лоренца как лоренцовы скаляры[en] () и биспиноры соответственно (). Электромагнитное поле является релятивистской функцией волны согласно этому определению, преобразующейся под [19].

Бесконечномерные представления могут быть использованы в анализе рассеяния[20]/

Квантовая теория поля[править | править код]

В квантовой теории поля возникает требование релятивистского инварианта среди других путей потребовать, чтобы S-матрица была обязательно инвариантом Пуанкаре[21]. Отсюда следует, что имеется одно или более бесконечномерных представления группы Лоренца, действующих на пространстве Фока[nb 10]. Один из способов гарантии такого представления — существование лагранжева описания (с современными требованиями, см. ссылку) системы, использующее канонический формализм, из которого может быть выведена реализация генераторов группы Лоренца[22].

Преобразование операторов поля иллюстрирует взаимодополняющие роли конечномерных представлений группы Лоренца и бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, что свидетельствует о глубоком единстве между математикой и физикой[23]. Для примера рассмотрим определение n-компонентного оператора поля[en][24]. Релятивистский оператор поля — это множество n функций, значениями которых являются операторы, на пространстве-времени, которые преобразуются при подходящих преобразованиях Пуанкаре (Λ, a) согласно выражению[25][26].

Здесь U[Λ, a] является унитарным оператором, представляющим (Λ, a) в гильбертовом пространстве, на котором определена Ψ, D является n-мерным представлением группы Лоренца. Правилом преобразования служит вторая аксиома Уайтмана[en] квантовой теории поля.

Из соглашений о дифференциальных связях, которым должен следовать оператор поля для описания отдельной частицы с определённой массой m и спином s (или спиральностью), выводится, что [27][nb 11]


(X1)

где интерпретируются как операторы рождения и уничтожения[en] соответственно. Оператор рождения преобразуется согласно формулам[27][28]

и аналогично для оператора аннигиляции. В данном случае следует подчеркнуть, что оператор поля преобразуется согласно конечномерному неунитарному представлению группы Лоренца, в то время как оператор создания преобразуется под бесконечномерном унитарном представлении группы Пуанкаре, описываемом массой и спином (m, s) частицы. Связью между этими двумя служат функции волны, называемые также коэффициентными функциями

которые несут оба индекса, как (x, α), оперирующий преобразованиями Лоренца, так и индекс (p, σ), оперирующий преобразованиями Пуанкаре. Это можно назвать связью Лоренца–Пуанкаре[29]. Чтобы продемонстрировать связь, применим к обоим частям уравнения (X1) преобразование Лоренца, что даёт, например, для u

где D является представлением неунитарной группой Лоренца Λ, а D(s) является унитарным представлением так называемого вращения Вигнера R, ассоциированного с Λ и p, которое выводится из представления группы Пуанкаре, а s является спином частицы.

Все вышеприведённые формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, как и дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с указанной массой, спином и (m, n) представлением, которое он должен преобразовывать[nb 12], а также функция волны, могут быть выведены лишь из теоретических соглашений, как только заданы рамки квантовой механики и специальной теории относительности[nb 13]

Абстрактные теории[править | править код]

В теориях, в которых размерность пространства-времени может быть больше , обобщённые группы Лоренца подходящей размерности занимают место группы O(3; 1)[nb 14].

Требование лоренцевой инвариантности принимает, видимо, наиболее драматический эффект в теории струн. С классическими релятивистскими струнами можно работать в лагранжевых рамках с помощью действия Намбу Гото[en][30]. Это работает в релятивистки инвариантной теории в пространстве-времени любой размерности[31]. Но, оказывается, в теории открытых и закрытых бозонных струн (самой простой теории струн) невозможно квантование таким способом, каким группа Лоренца представляется в пространстве состояний (гильбертовом пространстве), если размерность пространства-времени не равна 26[32]. Соответствующий результат для теории суперструн снова приводит к требованию лоренцевой инвариантности, но теперь с суперсимметрией. В этих теориях алгебра Пуанкаре заменяется на алгебру суперсимметрий[en], которая является Z2-градуированной алгеброй Ли[en], расширяющей алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры в высокой степени определяется требованием инварианта Лоренца. В частности, фермионные операторы (класса 1) принадлежат (0, 12) или (12, 0) представлению пространства (обычной) лоренцевой алгебры Ли[33]. Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях равна 10[34].

Конечномерные представления[править | править код]

Теория представлений групп в общем, и групп Ли в частности, является очень богатой областью. Полная группа Лоренца не является исключением. Группа Лоренца имеет некоторые свойства, которые делают её «податливой», а другие её же свойства делают её «не очень податливой» в контексте теории представлений. Группа является простой[en], а тогда и полупростой[en], но не связной, и ни одна из её компонент не является односвязной. Возможно, наиболее важно, что группа Лоренца не компактна[35].

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать тем же образом, как и с другими полупростыми группами, используя хорошо разработанную теорию. Кроме того, все представления строятся из неприводимых, поскольку алгебра Ли обладает свойством полной приводимости[nb 15][36]. Однако с некомпактными группами Лоренца в комбинации с отсутствием односвязности нельзя работать во всех аспектах в простых рамках, которые применимы к односвязным компактным группам. Из некомпактности следует для связной простой группы Ли, что не существует нетривиальных конечномерных унитарных[en] представлений[37]. Отсутствие односвязности приводит к представлению спинов[en] групп[38]. Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца обращение времени и инверсию пространства следует рассматривать отдельно[39][40].

История[править | править код]

Разработка теории конечномерных представлений группы Лоренца большей частью следует стратегии общей теории. Теория Ли, разработанной Софусом Ли в 1873[41][42][43][44]. В 1888 классификацию простых алгебр Ли[en] по существу выполнил Вильгельм Киллинг[45][46]. В 1913 теорему о наибольшем весе[en] для представлений простых алгебр Ли доказал Картан и этим же путём следует данная статья[47][48]. Ричрд Брауэр[en] в 1935–38 годах занимался разработкой теории матриц Вейля — Брауэра[en], описывающих как спиновые представления лоренцевой алгебры Ли могут быть вложены в алгебры Клиффорда[49][50]. Группа Лоренца получила также исторически специальное внимание в теории представления, см раздел «История бесконечномерных унитарных представлений» ниже, ввиду её исключительной важности в физике. Математики Герман Вейль[47][51][41][52][53] и Хариш-Чандра[en][54][9] и физики Юджин Вигнер[51][37] и Валентин Баргман[55][56][57] внесли существенный вклад как в общие теории представлений так и, в частности, в теорию групп Лоренца[1]. Физик Поль Дирак был, возможно, первым, кто явно связал всё вместе в практическом приложении с уравнением Дирака в 1928[58][59][nb 16].

Введение в теорию конечномерных представлений[править | править код]

Алгебра Ли[править | править код]

Вильгельм Киллинг, независимо открывший алгебры Ли. Простые алгебры Ли были классифицированы им в 1888.

Согласно стратегии, были найдены неприводимые комплексные линейные представления комплексификации, алгебры Ли группы Лоренца. Подходящий базис для задаётся тремя генераторами Ji вращений и тремя генераторами Ki бусты. Они в явном виде даны в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».

Алгебра Ли является комплексифицированной[en], а базис заменяется на компоненты [60]

Компоненты и по отдельности удовлетворяют соотношения коммутирования[en] алгебры Ли и, более того, коммутируют друг с другом[61],

где i, j, k являются индексами, принимающими значениями 1, 2, 3, а является трёхмерным символом Леви-Чивиты. Пусть и означают комплексные линейные оболочки A и B соответственно.

Имеем изоморфизмы [62][nb 17]

(A1)

где является комплексификацией алгебры

Полезность этих изоморфизмов проистекает из факта, что вcе неприводимые представления алгебры[en] , а потому (см. стратегию) все неприводимые комплексные линейные представления известны. Согласно конечному заключению стратегии, неприводимое комплексное линейное представление алгебры изоморфно одному из представлений наибольшего веса[en]. Они приведены в явном виде в разделе «Комплексные линейные представления »

Унитарный приём[править | править код]

Герман Вейль, разработчик унитарного приёма[en]. Имеется несколько концепций и формул в теории представлений, названных именем Вейля, а именно, группа Вейля и формула Вейля для характеров[en].
Фото любезно предоставлено ETH-Bibliothek Zürich, Bildarchiv

Алгебра Ли является алгеброй Ли группы Она содержит компактную подгруппу SU(2) × SU(2) с алгеброй Ли . Последняя является вещественной компактной вещественной формой алгебры . Тогда из первого утверждения унитарного приёма представления группы SU(2) × SU(2) взаимнооднозначно соответствуют голоморфным представлениям группы

Согласно компактности, теорема Питера — Вейля[en] применима к SU(2) × SU(2)[63] и, следовательно, ортогональность непереводимых характеров может быть также использована. Неприводимые унитарные представления группы SU(2) × SU(2) в точности являются тензорными произведениями неприводимых унитарных представлений группы SU(2)[64]

Привлекая односвязность, можно использовать второе утверждение унитарного приёма. Объекты в следующем списке находятся во взаимнооднозначном соотношении:

  • Голоморфные представления группы
  • Гладкие представления SU(2) × SU(2)
  • Вещественные линейные представления алгебры
  • Комплексные линейные представления алгебры

Тензорное произведение представлений появляется в алгебрах Ли в одной из форм[nb 18]


(A0)

где Id является тождественным оператором. Здесь пердполагается последняя интерпретация, которая следует из уравнения (G6). Наибольший вес представления алгебры индексируется значениями μ для μ = 0, 1/2, 1, .... (Наибольшие веса в действительности равны , но обозначения здесь адаптированы к обозначениям алгебры ). Тензорные произведения двух таких комплексных линейных сомножителей тогда образуют неприводимые комплексные линейные представления алгебры

Наконец, -линейные представления вещественных форм[en] крайние слева, (алгебры) , и крайние справа, [nb 19] в формуле (A1) получаются из -линейных представлений алгебры , описанной в предыдущем параграфе.

Представления[править | править код]

Вещественные линейные представления для алгебр и , рассматриваемые здесь, предполагают, что комплексные линейные представления алгебры известны. Явные реализации и представления групп даны ниже.

(μ, ν)-представления алгебры sl(2, C)[править | править код]

Комплексные линейные представления комплексификации алгебры , полученные с помощью изоморфизмов в уравнении (A1), находятся во взаимнооднозначном соответствии с вещественными линейными представлениями алгебры [65]. Множество всех, по меньшей мере вещественных линейных, неприводимых представлений алгебры тогда индексируется парой . Индексы комплексных линейных представлений, точно соответствующих комплексификации вещественных линейных представлений, имеют вид (μ, 0), в то время как индексы сопряжённых линейных имеют вид (0, ν)[65]. Все другие представления являются только вещественными линейными. Свойства линейности следуют из канонического вложения, крайне правого в формуле (A1), алгебры в её комплексификацию. Представления в виде (ν, ν) или задаются вещественными матрицами (второе не является неприводимым). Явными вещественными линейными -представлениями алгебры являются

где являются комплексными линейными неприводимыми представлениями алгебры , а являются их комплексными сопряжёнными представлениями. (В математической литературе обычно применяются индексы 0, 1, 2, …, но здесь выбраны дроби для согласования с индексами для алгебры Ли.) Здесь скалярное произведение интерпретируется в первоначальном смысле как (A0). Эти представления конкретно реализованы ниже.

(m, n)-представления алгебры so(3; 1)[править | править код]

Через указанный изоморфизм в уравнении (A1) и знание комплексных линейных неприводимых представлений алгебры , разрешённой относительно J и K, получаются все неприводимые представления алгебры и, путём ограничения, представления алгебры . Представления алгебры , полученные таким образом, являются вещественными линейными (а не комплексными или антилинейными), поскольку алгебры не замкнуты относительно сопряжения, но они остаются неприводимыми[62]. Поскольку алгебра является полупростой[en][62], все её представления можно построить как прямые суммы неприводимых представлений.

Тогда неприводимые представления конечной размерности алгебры Лоренца классифицируются упорядоченными парами половинок целых чисел m = μ и n = ν, которые традиционно записываются как

где V является конечномерным векторным пространством. Они, с точностью до подобия, единственным образом задаются выражениями[nb 20]

(A2)

где 1n является n-мерной единичной матрицей, а

являются (2n + 1)-мерными неприводимыми представлениями алгебры[en] , которые называются также спиновыми матрицами или матрицами момента импульса. Они явно задаются формулами[66]

где δ означает символ Кронекера. В компонентах с , представления задаются уравнениями[67]

Общие представления[править | править код]
Неприводимые представления для малых (m, n). Размерность дана в скобках.
1
Скаляр (1) Левый
спинор Вейля (2)
Самодвойственная
2-форма (3)
(4)
Правый
спинор Вейля spinor (2)
4-вектор (4) (6) (8)
1 Антисамодвойственная
2-форма (3)
(6) Бесследовый
симметричный
тензор (9)
(12)
(4) (8) (12) (16)

Недиагональные прямые суммы

Так как для любого неприводимого представления, для которого mn, необходимо оперировать над полем комплексных чисел, прямая сумма представлений[en] (m, n) и (n, m) имеют особую важность для физики, поскольку это позволяет использовать линейные отображения над вещественными числами.

Группа[править | править код]

Подход в этом разделе основывается на теоремах, которые, в свою очередь, основываются на фундаментальном соответствии Ли[en][42]. Соответствие Ли является, по сути, словарём между связными группами Ли и алгебрами Ли[71]. Связь между ними является экспоненциальным отображением[en] из алгебры Ли в группу Ли, которое обозначается . Общая теория суммирована в разделе «Введение в теорию конечномерных представлений».

Если алгебра для некоторого векторного пространства V является представлением, представление Π связной компоненты группы G определяется уравнениями


(G2)

Это определение применяется независимо от того, результирующее представление проективно или нет.

Сюръективность экспоненциального отображения для SO(3, 1)[править | править код]

С практической точки зрения важно знать, может ли первая формула в (G2) быть использована для всех элементов группы. Это выполняется для всех , однако, в общем случае, например, для , не все gG находятся в образе exp.

Однако является сюръективным. Один из путей показать это — использовать изоморфизм , в котором правая часть — группа Мёбиуса. Это фактор-группа группы (см. ссылку на статью). Факторотображение обозначается через . Отображение является отображением на[72]. Применяем формулу (Lie) с π, который является дифференциалом p на тождестве. Тогда

Поскольку левая сторона сюрьективна (так как exp и p таковы), правая сторона сюръективна, а следовательно сюръективно [73]. Наконец, используем аргумент ещё раз, но теперь с известным изоморфизмом между SO(3; 1)+ и , чтобы показать, что exp является отображением «на» для связной компоненты группы Лоренца.

Фундаментальная группа[править | править код]

Группа Лоренца дважды связна, т. е. является группой с двумя классами эквивалентности петель в качестве элементов.

Проективные представления[править | править код]

Поскольку имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли приводят к проективным представлениям[en][76][nb 24]. Если известно, что представление проективно, формулу (G2) можно применять ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, принимая во внимание, что представление элемента группы будет зависеть от того, какой элемент алгебры Ли (X в (G2)) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.

Для группы Лоренца (m, n)-представление является проективным, когда m + n является половиной целого числа. См. раздел «Спиноры».

Для проективного представления Π группы выполняется[75]

(G5)

поскольку любая петля в SO(3; 1)+, обходя дважды, ввиду двойной связности, стягиваема в точку, так что её класс гомотопии является классом постоянного отображения. Отсюда следует, что функция Π имеет два значения. Невозможно однозначно выбрать знак для получения непрерывного представления всей , но, возможно, локально около каждой точки[37].

Накрывающая группа группы SL(2, C)[править | править код]

Рассмотрим как вещественную алгебру Ли с базисом

где -ы означают матрицы Паули. Из отношений


(J1)

получаем


(J2)

что в точности имеет вид 3-мерной версии соотношений коммутирования для алгебры (см. «Соглашения и базисы алгебры Ли» ниже). Таким образом, отображение , , продолженное по линейности, является изоморфизмом. Поскольку группа односвязна, она является универсальной накрывающей группой[en] группы .

Несюръективность экспоненциального отображения для SL(2, C)[править | править код]

Рисунок показывает связи отображений, обсуждаемых в тексте. Здесь V является конечномерным векторным пространством, несущими представления алгебры , а обозначает экспоненциальное отображение, p является накрывающим отображением из в SO(3; 1)+, а σ является изоморфизмом алгебры Ли, индуцированным отображением. Отображения Π, π и два Φ являются представлениями. Представленная картина верна лишь частично, когда Π проективно.

Экспоненциальное отображение не является отображением на[79]. Матрица


(S6)

находится в , но нет никакого , такого, что [nb 28].

В общем случае, если g является элементом связной группы Ли G с алгеброй Ли то, по формуле (Lie),


(S7)

Матрицу q можно записать в виде


(S8)

Реализация представлений групп SL(2, C) и sl(2, C) и их алгебр Ли[править | править код]

Комплексные линейные представления и более просты для получения, чем представления алгебры . Их можно (обычно так и делается) создавать с нуля. Голоморфные представления групп (что означает, что соответствующее представление алгебры Ли является комплексным линейным) связаны с комплексным линейным представлением алгебры Ли возведением в степень. Вещественные линейные представления алгебры являются в точности (μ, ν)-представлениями. Они могут быть также возведены в степень. (μ, 0)-Представления являются комплексными линейными и они являются (изоморфны) представлениями наибольшего веса. Они обычно индексируются только одним целым числом (но здесь используется половина целого).

Для удобства в этом разделе используются математические соглашения. Элементы алгебры Ли отличаются на множитель i и не имеют множителя i в экспоненциальном отображении по сравнению с физическими соглашениями, применяемыми повсеместно. Пусть базисом [80] будет


(S1)

Выбор базиса и обозначения являются стандартными для математической литературы.

Комплексные линейные представления[править | править код]

Неприводимые голоморфные (n + 1)-мерные представления могут быть реализованы на пространстве однородных многочленов степени n от 2 переменных [81][82], элементами которого являются

Действие задаётся формулой [83][84]


(S2)

Ассоциированным -действием является, используя формулу (G6) и определение выше, для базисных элементов алгебры [85]


(S5)

С выбором базиса для эти представления становятся матричными алгебрами Ли.

Вещественные линейные представления[править | править код]

(μ, ν)-Представления реализуется на пространстве многочленов от , однородных степени μ от переменных и однородных степени ν от [82]. Представления задаются формулой[86]

(S6)

При рассмотрении формулы (G6) опять, находим, что

(S7)

В частности, для базисных элементов:

(S8)

Свойства представлений (m, n)[править | править код]

Представления (m, n), определённые выше формулой (A1) (как ограничения вещественной формы ) тензорного произведения неприводимых комплексных линейных представлений и алгебры неприводимы, и они являются единственными неприводимыми представлениями[63].

  • Неприводимость следует из унитарного приёма[87] и того, что представления Π группы SU(2) × SU(2) неприводимы тогда и только тогда, когда [nb 29], где являются неприводимыми представлениями группы SU(2).
  • Единственность следует из того, что являются единственными неприводимыми представлениями группы SU(2), что является одной из набора теорем о наибольшем весе[88].

Размерность[править | править код]

Представления (m, n) являются (2m + 1)(2n + 1)-мерными[89]. Это наиболее просто следует из подсчёта размерностей в любой конкретной реализации, такой, как приведённой в разделе «Представления группы и алгебры ». Для алгебры Ли общего вида применима формула Вейля для размерности[en][90],

где R+ является множеством положительных корней, ρ является наибольшим весом, а δ равно половине суммы положительных корней. Скалярное произведение является скалярным произведением алгебры Ли инвариантным под действием группы Вейля на алегбре подалгебре Картана[en]. Корни (вещественные элементы через это скалярное произведение отождествляются с элементами алгебры Для формула сокращается до , где нужно учитывать существующие обозначения. Наибольший вест равен 2μ[91].

Точность[править | править код]

Если представление Π группы Ли G не точное, то N = ker Π является нетривиальной нормальной подгруппой[92]. Существует три случая.

  1. N недискретна и абелева.
  2. N недискретна и неабелева.
  3. N дискретна. В этом случае NZ, где Z является центром группы G.[nb 30]

В случае SO(3; 1)+ первый случай исключается, поскольку группа SO(3; 1)+ полупроста[nb 31]. Второй случай (и первый) исключается, поскольку SO(3; 1)+ проста[nb 32]. В третьем случае SO(3; 1)+ изоморфна фактор-группе . Однако является центром . Отсюда следует, что центр группы SO(3; 1)+ тривиален, и это исключает третий случай. Отсюда можно сделать заключение, что любое представление Π : SO(3; 1)+ → GL(V) и любое проективное представление Π : SO(3; 1)+ → PGL(W) для V, W конечномерных векторных пространств является точным.

При использовании фундаментального соответствия Ли утвержения и доводы выше переносятся непосредственно на алгебры Ли с заменой (абелевых) нетривиальных недискретных нормальных подгрупп на (одномерные) нетривиальные идеалы в алгебре Ли[93], а центр группы SO(3; 1)+ заменяется центром алгебры . Центр любой полупростой алгебры Ли тривиален[94], а алгебра является полупростой и простой, а потому не имеет нетривиальных идеалов.

Есть связанный факт, что если соответствующее представление группы точное, то представление является проективным. Обратно, если представление не проективно, то соответствующее представление группы не точное, а является представлением 2:1.

Неунитарные[править | править код]

Представление (m, n) алгебры Ли не эрмитово. Таким образом, соответствующее (проективное) представление группы не является унитарным[nb 33] Это следствие некомпактности группы Лоренца. Фактически, связная простая некомпактная группа Ли не может иметь каких-либо нетривиальных унитарных конечномерных представлений[37]. Существует топологическое доказательство этого[95]. Пусть , где V является конечномерным, является непрерывным унитарным представлением некомпактной связной простой группа Ли G. Тогда , где U(V) явяется компактной подгруппой группы GL(V), состоящей из унитарных преобразований пространства V. Ядро представления u является нормальной подгруппой группы G. Поскольку группа G проста, ker u является либо всей группой G, и в этом случае u тривиально, либо ker u тривиально, и в этом случае u является точным[en]. В последнем случае u является диффеоморфизмом на его образ[96], и u(G) является группой Ли. Это означало бы, что u(G) является вложенной некомпактной подгруппой компактной группы U(V), что невозможно с топологией пространства на , поскольку все вложенные подгруппы Ли группы Ли замкнуты[97]. Если u(G) было бы замкнуто, оно было бы компактно[nb 34], а тогда была бы компактна группа G[nb 35], что противоречит предположению[nb 36].

В случае группы Лоренца это можно видеть непосредственно из определения. Представления A и B, используемые при построении, являются эрмитовыми. Это означает, что матрица J является эрмитовой, а K является антиэрмитовой[98]. Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку от объектов наблюдения не требуется иметь лоренц-инвариантную положительно определённую норму[99].

Ограничения для SO(3)[править | править код]

Представление (m, n) является, однако, унитарным, если оно ограничено подгруппой вращения SO(3), но эти представления не являются неприводимыми как представления группы SO(3). Разложение Клебша — Гордана может быть испоьзовано, чтобы показать, что (m, n) представление имеет SO(3)-инвариантные подпространства наибольшего веса (спина) [100], где каждый возможный наибольший вес (спин) возникает ровно одни раз. Взвешенное подпространство наибольшего веса (спина) j является (2j + 1)-мерным. Так, например, (12, 12) представление имеет подпространства со спином 1 и спином 0 размерности 3 и 1 соответственно.

Поскольку оператор момента импульса задаётся равенством , наибольший спин в квантовой механике вращательного подпредставления будет равен и применимо «обычное» правило сложения угловых моментов и формализм 3j-символов, 6j-символов, и т.д.[101].

Спиноры[править | править код]

SO(3)-инвариантные пространства неприводимых представлений определяют, имеет ли представление спин. Из предыдущего параграфа видно, что представление (m, n) имеет спин, если m + n является полуцелым. Простейшими являются и , спиноры Вейля размерности 2. Тогда, например, и являются суммой представлений размерностей и соответственно. Заметим, что согласно предыдущему параграфу существуют подпространства со спинами как , так и в последних двух случаях, так что не похоже, чтобы эти представления представляли одиночные физические частицы, которые должны хорошо себя вести при SO(3). Невозможно исключить в общем случае, однако, чтобы представления с множественными SO(3) подпредставлениями с различными спинами могли представлять физические частицы с вполне определённым спином. Может существовать подходящее релятивистское уравнение волны, которое проецируется на нефизические компоненты, оставляя только один спин[102].

Построения чистых спинов представления для любого n (для SO(3)) из неприводимых представлений вовлекает вычисление тензорных произведений представления Дирака с неспинорным представлением, выделение подходящего пространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений[103]

Двойственные представления[править | править код]

Система корней A1 × A1 алгебры

Следующие теоремы применяются для проверки, не изоморфно ли двойственное представление[en] неприводимого представления оригинальному представлению:

  1. Множество весов[en] двойственного представления[en] неприводимого представления полупростой алгебры Ли является, включая кратности, отрицательными значениями множества весов исходного представления [104].
  2. Два неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый наибольший вес[en].[nb 37]
  3. Для любой полупростой алгебры Ли существует единственный элемент w0 группы Вейля, такой, что, если μ является доминирующим суммарным весом, то w0 ⋅ (−μ) снова является доминирующим суммарным весом[105]
  4. Если является неприводимым представлением с наибольшим весом , то имеет наибольший вес [105].

Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие умножением матриц на вещественном векторном пространстве корней. Если I является элементом группы Вейля полупростой алгебры Ли, то . В случае алгебры группой Вейля является [106]. Отсюда следует, что каждое изоморфно его двойственному Система корней алгебры показана на рисунке справа[nb 38]. Группа Вейля генерируется элементами , где является отражением в плоскости, ортогональной к γ, когда γ пробегает все корни[nb 39]. Изучение показывает, что , так что . Используя факт, что если являются представлениями алгебры Ли и , то [107], получаем для

Комплексные сопряжённые представления[править | править код]

Если π является представлением алгебры Ли, то является представлением, где черта свеху означает поэлементное комплексное сопряжение в матрицах представления. Это следует из факта, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением[108]. В общем случае любое неприводимое представление π алгебры может быть записано единственным образом в виде , где [109]

с голоморфной (комплексной линейной) и антиголоморфной (сопряжённой линейной). Для , поскольку представление голоморфно, представление антиголоморфно. Прямое исследование явных выражений для и в уравнении (S8) ниже показывает, что они голоморфны и антиголоморфны соответственно. Более тесное рассмотрение выражения (S8) также позволяет отождествить и для с

Используя вышеприведённые тождества (рассматриваемые как поточечное сложение функций), для SO(3; 1)+ получаем

где утверждение для представлений группы следует из exp(X) = exp(X). Отсюда следует, что неприводимые представления (m, n) имеют представителей в виде вещественных матриц тогда и только тогда, когда . Приводимые представления вида также имеют вещественные матрицы.

Присоединённое представление, алгебра Клиффорда и представление cпинора Дирака[править | править код]

Ричрд Брауэр[en] с женой Ильсе 1970. Брауэр обобщил представления спинов[en] алгебр Ли, находящихся внутри алгебры Клиффорда, до спинов, больших 12.
Фото любезно представлено MFO.

В общей теории представления, если (π, V) является представлением алгебры Ли , то существует ассоциированное представление алгебры на End(V), также обозначаемое π, которое задаётся формулой


(I1)

Подобным же образом представление (Π, V) группы G даёт представление Π на End(V)[110] группы G, также обозначаемое Π, которое задаётся формулой[111]


(I2)

Если π и Π являются стандартными представлениями на и если действие ограничено на алгебре то два вышеупомянутых представления являются присоединённым представлением алгебры Ли и присоединённым представлением группы соответственно. Соответствующие представления ( или ) всегда существуют для любой матричной группы Ли и являются наиболее важными для изучения теории представления в общем, и для любой заданной группы Ли в частности.

Если применить это к группе Лоренца, когда (Π, V) является проективным представлением, то прямые вычисления с использованием формулы (G5) показывают, что индуцированное представление на End(V) является собственным представлением, т.е. представлением без фазовых множителей.

В квантовой механике это означает, что если (π, H) или (Π, H) является представлением, действующим на некотором гильбертовом пространстве H, то соответствующие индуцированные представления действуют на множестве линейных операторов на H. Как пример, индуцированное представление представления проективного спина на End(H) является непроективным 4-векторным (12, 12) представлением[112].

Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» алгебры End(H), то есть, если задан базис для H, то множество постоянных матриц различных размерностей, включая возможные бесконечные размерности. Индуцированное 4-векторное представление выше на этом упрощённом End(H) имеет инвариантное 4-размерное подпространство, натянутое на четыре гамма-матрицы[113]. (Метрические соглашения отличаются в статье, указанной в ссылке.) Соответствующим образом, полная клиффордова алгебра пространства-времени[en], комплексификацией которой является генерируемая гамма-матрицами, разлагается на прямую сумму пространств представлений скалярных неприводимых представлений, (0, 0), псевдоскалярных неприводимых представлений, также (0, 0), но с обратным значением собственного значения чётности −1, см. следующий раздел ниже, уже упомянутых векторных неприводимых представлений , псевдовекторных неприводимых представлений с обратным собственным значением чётности +1 (не −1) и тензорных неприводимых представлений [114]. Размерности складываются в значение 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16. Другими словами,


(I3)

Спинорное представление[править | править код]

Шестимерное пространство представления тензора -представление внутри играет две роли. Первая[115]


(I4)

где являются гамма-матрицами. На сигмы, только 6 из которых не нулевые вследствие антисимметрии скобки, натянуто пространство представления. Более того, они имеют соотношения коммутирования лоренцевой алгбры Ли[113],


(I5)

и, следовательно, составляют представление, находящееся внутри , спинорное представление. Для деталей см. статьи «Биспинор» и «Алгебра Дирака»[en].

Вывод: любой элемент комплексификацировнной в End(H) (то есть любая комплексная матрица 4×4) имеет вполне определённые свойства преобразования Лоренца. Кроме того, этот элемент имеет спинорное представление лоренцевой алгебры Ли, которое при экспоненциировании становится спинорным представлением группы, действующим на , превращая его в пространство биспиноров.

Приводимые представления[править | править код]

Существует много других представлений, которые можно вывести из неприводимых путём взятия прямых сумм, тензорных произведений и факторгрупп неприводимых представлений. Среди других методов получения представлений — ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например, и группу Пуанкаре. Такие представления в общем случае не являются неприводимыми.

Группа Лоренца и её алгебра Ли имеют свойство полной приводимости. Это означает, что любое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Приводимые представления поэтому здесь не обсуждаются.

Инверсия пространства и обращение времени[править | править код]

(Возможно проективное) представление (m, n) является неприводимыми как представление группы SO(3; 1)+, единичная компонента группы Лоренца, в физической терминологии собственная ортохронная группа Лоренца. Если m = n, представление может быть расширено на представление всех O(3; 1), полных групп Лоренца, включая инверсию пространственной чётности и обращение времени. Представления могут быть расширены аналогично [116].

Обращение чётности пространства[править | править код]

Для обращения чётности пространства рассматривается присоединённое действие AdP P ∈ SO(3; 1) на , где P является стандартным представителем обращения чётности пространства, P = diag(1, −1, −1, −1), задаваемого выражением


(F1)

Это те свойства K и J под P, которые объясняют термины вектор для K и псевдовектор или аксиальный вектор для J. Аналогичным образом, если π является любым представлением алгебры и Π является его ассоциированным представлением группы, то Π(SO(3; 1)+) действует на представлении π путём присоединённого действия, для алгебры . Если P включить в Π, то согласованность с уравнением (F1) требует, чтобы выполнялось


(F2)

где A и B определены, как в первой секции раздела. Это может выполняться, только если и имеют одинаковые размерности, т.е., только если m = n. Если mn, то может быть расширено к неприводимому представлению группы , ортохронной группы Лоренца. Представление с обратной чётностью Π(P) не приходит автоматически с основным построением (m, n) представлений. Оно должно быть указано отдельно. Матрица β = iγ0 может быть использована в [117] представлении.

Если чётность входит со знаком минус (1×1 матрица [−1]) в представление (0,0), оно называется псевдоскалярным представлением.

Обращение времени[править | править код]

Обращение времени действует аналогично на алгебре как[118]


(F3)

Путём явного включения представления для T, как и для P, получается представление полной группы Лоренца O(3; 1). Для физики здесь возникает небольшая проблема, в частности, в квантовой механике. Когда рассматривается полная группа Пуанкаре[en], четыре дополнительных генератора, Pμ вместе с Ji и Ki, генерируют группу. Они интерпретируются как генараторы параллельного переноса. Компонента времени P0 является гамильтонианом H. Оператор T удовлетворяет отношению[119]


(F4)

по аналогии с вращениями с алгеброй заменёнными на полную алгебру Пуанкаре[en]. После простого удаления переменных i's из THT−1 = −H следовало бы, что любое состояние Ψ с положительной энергией E в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантостью обращения времени было бы состоянием Π(T−1 с отрицательной энергией E. Такие состояния не существуют. Оператор Π(T) поэтому выбирается антилинейным[en] и антиунитарным[en], так что он антикоммутирует с i, давая , и его действие в гильбертовом пространстве равным образом становится антилинейным и антиунитарным[120]. Его можно выразить как суперпозицию комплексного сопряжения с умножением на унитарную матрицу[121]. Для математического рассмотрения вопроса см. статью «Теорема Вигнера»[en], но с оглядкой на разночтение терминологии — Π не представление.

При построении теорий, таких как КЭД, которая инвариантна по чётности пространства и обращению времени, могут быть использованы cпиноры Дирака, в то время как другие теории, в которых инвариантности нет, такие как электрослабое взаимодействие, должны быть сформулированы в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака обычно берётся для включения как чётности пространства, так и обращения времени. Без обращения чётности пространства, оно не является неприводимым представлением.

Третья дискретная симметрия, входящая в CPT-теорему, вместе с P и T, симметрия зарядового сопряжения C, напрямую не имеет ничего общего с инвариантностью Лоренца[122].

Действия на пространства функций[править | править код]

Если V является векторным пространством функций от конечного числа переменных n, то действие на скалярную функцию , заданную формулой


(H1)

даёт другую функцию . Здесь является n-мерным представлением, а Π является, возможно, бесконечномерным представлением. Специальный случай этого построения получаем, когда V является пространством функций, определённых на самой линейной группе G, рассматриваемой как n-мерное многообразие, вложенное в m в качестве размерности матриц)[123] Это установки, в которых формулируются теорема Питера — Вейля[en] и теоерма Бореля — Вейля — Ботта[en]. Первое из упомянутых демонстрирует существование разложения Фурье функций на компактных группах в характеры конечномерных представлений[63]. Последняя теорема, давая более явные представления, использует унитарный приём[en] для получения представления комплексных некомпактных групп, например,

Следующие разделы иллюстрируют действие группы Лоренца и подгрупп вращения на некоторых пространствах функций.

Евклидовы вращения[править | править код]

Подгруппа SO(3) трёхмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве

где являются сферическими гармониками. Произвольная квадратично интегрируемая функция f на единичной сфере[en] может быть выражена как[124]


(H2)

где flm являются обобщёнными коэффициентами Фурье[en].

Действия группы Лоренца ограничиваются действиями на SO(3) и выражаются как