Термодинамическая энтропия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Термодинамические величины
Thermodynamics navigation image.svg
Статья является частью серии «Термодинамика».
Энтропия
Количество теплоты
Термодинамическая работа
Химический потенциал
См. также: Термодинамические потенциалы.
Разделы термодинамики
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы
править
См. также «Физический портал»

Термодинамическая энтропия  S , часто именуемая просто энтропией, — физическая величина, используемая для описания термодинамической системы, одна из основных термодинамических величин. Энтропия является функцией состояния и широко используется в термодинамике, в том числе технической (анализ работы тепловых машин и холодильных установок) и химической (расчёт равновесий химических реакций).

Утверждение о существовании энтропии и перечисление её свойств составляют содержание второго и третьего начал термодинамики. Значимость данной величины для физики обусловлена тем, что наряду с температурой её используют для описания термических явлений и термических свойств макроскопических объектов. Качественные представления о термическом состоянии системы связаны с тепловыми ощущениями, выражаемыми понятиями «теплее», «холоднее», «нагрев», «охлаждение», «степень нагретости». К термическим относят свойства, характеризующие поведение вещества при его нагреве или охлаждении: термические коэффициенты, теплоёмкость и другие калорические коэффициенты, постоянную Кюри, показатели термостойкости, пределы огнестойкости и т. д.; примерами термических явлений служат термическое расширение, пироэлектричество, электрокалорический эффект, теплопроводность, изменение агрегатного состояния — кристаллизация и замерзание, плавление и таяние, испарение, кипение, сублимация (возгонка), конденсация и другие процессы.

Историческая справка[править | править вики-текст]

Понятие энтропии, её обозначение и название были введены Р. Клаузиусом (1865). Абстрактность этого понятия — одного из краеугольных камней термодинамики — и разнообразие подходов к обоснованию существования энтропии как термодинамической величины привели к появлению аксиоматики термодинамики.

Термодинамическая дефиниция энтропии[править | править вики-текст]

В термодинамике энтропию вводят, обосновывая её существование, перечисляя её свойства и строя для неё шкалу измерения на основании первого, второго и третьего начал термодинамики.

В термодинамических формализмах Клаузиуса[1] и Каратеодори[2] энтропию вводят одновременно с температурой. Математический аппарат термодинамики Гиббса[3] основан на использовании энтропии в качестве независимой термодинамической переменной, тогда как температура — естественный кандидат на эту роль, вводится как функция внутренней энергии и энтропии. Наконец, в рациональной термодинамике энтропию выражают через внутреннюю энергию и температуру, которые рассматривают как основные неопределяемые переменные теории.

Энтропия простой системы[править | править вики-текст]

Первое начало (закон) термодинамики устанавливает связь между внутренней энергией, работой и теплотой: одна из этих физических величин задаётся с помощью двух других, которые, будучи исходными объектами теории, в рамках самой этой теории определены быть не могут просто потому, что не существует понятий более общих, под которые их можно было бы подвести[4]. Термодинамика заимствует понятия энергии и работы из других разделов физики[5][6], тогда как определение количеству теплоты, наоборот, даётся только и именно в термодинамике. Согласно Клаузиусу теплоту Q определяют через внутреннюю энергию U и работу W[7][8]. При использовании термодинамического правила знаков[9] математическое выражение для первого начала термодинамики в формулировке Клаузиуса имеет вид[10]:

 Q \equiv \Delta U - W. (Дефиниция теплоты по Клаузиусу)

Первое начало в этой формулировке вводит теплоту как физическую характеристику процесса, поведение которой определяется законом сохранения энергии, но не определяет её как математический объект. Детализировать дефиницию теплоты проще всего для равновесного процесса, когда работу, а следовательно и теплоту, можно выразить через переменные состояния. Для бесконечно малого[11] равновесного процесса в простой системе[12] возможен единственный вид работы — работа расширения/сжатия W_v:

 \delta W_v = -PdV , (Работа расширения/сжатия для равновесного процесса в простой системе)

где P — давление, V — объём; символ  \delta означает, что соответствующая величина относится к бесконечно малому процессу. Таким образом, для первого начала термодинамики в формулировке Клаузиуса получаем[13][14]:

 \delta Q = d U + PdV, (Первое начало для равновесного процесса в простой системе)

где  \delta Q  — элементарная (бесконечно малая) теплота процесса.

Это выражение, определяющее элементарную теплоту как математический объект, есть линейная дифференциальная форма (форма Пфаффа) для двух независимых переменных. Для данной пфаффовой формы условие интегрируемости Эйлера не выполняется, т. е.  \delta Q есть функционал[15], а не полный дифференциал несуществующей функции  Q(U,V) [14]. Из теории дифференциальных форм известно, однако, что если выполняется условие Фробениуса, то пфаффова форма имеет интегрирующий множитель/делитель, превращающий эту форму в полный дифференциал и представляющий из себя функцию тех же независимых переменных, которые входят в форму Пфаффа[16]. Пфаффовы формы, имеющие интегрирующий множитель/делитель называют голономными; пфаффова форма двух переменных всегда голономна (теорема Коши)[17][18]. Поэтому для простых равновесных систем существует функция состояния  S(U,V) , полный дифференциал которой равен

dS ~\equiv~ \frac{\delta Q}{T} ~=~ \frac{1}{T} dU ~+~ \frac{P}{T} dV , (Дефиниция энтропии простой равновесной системы)

где

T = T(U,V)

есть интегрирующий делитель для формы Пфаффа. Клаузиус назвал функцию состояния S энтропией (от греческого слова τρoπή — изменение, превращение, преобразование). Второе начало термодинамики утверждает, что энтропия существует для любых равновесных систем, а не только простых, и что интегрирующий делитель T есть абсолютная термодинамическая температура[19][20][21][18]. Неравновесная термодинамика распространяет представление о локальной энтропии и локальной температуре на любые термодинамические системы.

Интегрирование уравнения для энтропии приводит к появлению в выражении для функции S(U,V) произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной точки отсчёта энтропии. Произвол в выборе начального состояния для энтропии устраняет третий закон термодинамики.

Энтропия закрытой системы[править | править вики-текст]

Помимо работы расширения/сжатия система может выполнять и другие виды работ, например работу изменению площади поверхности раздела фаз, работу перемещения в поле тяготения, работу поляризации диэлектрика в электрическом поле и т. д. Объединяет все эти виды работ, включая работу расширения/сжатия, формальная структурная идентичность расчётных формул друг с другом и с выражением для работы расширения/сжатия[22][23][24]:

 \delta W_i = X_idx_i ,

где \delta W_i — элементарная работа i-го типа, x_iобобщенная координата, сопряжённая с обобщенной силой X_i. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщённая сила; физические переменные, соответствующие обобщённым координатам и силам, конкретизируют применительно к решаемой задаче[25][26].

Если однородная система одновременно совершает несколько различных видов работ, то они суммируются и полная работа системы \delta W равна[22][27][28]

 \delta W = \sum_i X_idx_i , (Суммарная работа для равновесного процесса в однородной системе)

а для первого начала термодинамики получаем соотношение[29][30]:

 \delta Q = d U - \sum_i X_idx_i , (Первое начало для равновесного процесса в однородной системе)

которое как и в случае простой системы представляет собой форму Пфаффа. Второе начало термодинамики постулирует недоказуемое положение о том, что пфаффова форма \delta Q при любом числе переменных всегда голономна[20] и, следовательно, для любой закрытой термодинамической системы существуют энтропия

 S = S(U,\{x_i\}) (Энтропия однородной закрытой системы)

и абсолютная термодинамическая температура

T = T(U,\{x_i\}).

Выражение \{x_i\} есть сокращение для перечисления x_1,x_2,...,x_i,... переменных определённого типа, в данном случае — обобщённых координат.

Энтропия открытой системы[править | править вики-текст]

Принимая, что теплота и работа являются двумя единственно возможными формами передачи энергии[31][32][33], а изменение энергии, связанное с переносом вещества в открытой системе, есть составная часть общей работы, называемая химической работой (работой перераспределения масс веществ[34]), в случае однородной открытой системы дифференциальную форму \delta Q для закрытой системы следует дополнить слагаемым, учитывающим элементарную химическую работу \delta Z[35][36][37][38][31][32]:

 \delta Z = \sum_j \mu_j d m_j , (Химическая работа для равновесного процесса в открытой однородной системе)

где m_j — масса j-го компонента[39], \mu_j — химический потенциал этого компонента.

Пфаффова форма \delta Q для открытой однородной системы равна[28]

 \delta Q = d U - \sum_i X_idx_i - \sum_j \mu_j d m_j . (Первое начало для равновесного процесса в открытой однородной системе)

Дальнейшие рассуждения о существовании энтропии

 S = S(U,\{x_i\},\{m_j\})

и абсолютной термодинамической температуры

T = T(U,\{x_i\},\{m_j\})

для открытой системы ничем не отличаются от соображений, высказанных при рассмотрении закрытой системы, поэтому ниже перечислены причины, по которым открытые системы потребовали отдельного рассмотрения.

Первая из этих причин состоит в том, что использование в понятийном аппарате термодинамики химической работы как части общей работы делает неэквивалентными представления об адиабатной изоляции как накладывающей запрет на обмен веществом (т. е. любая адиабатно изолированная система есть система закрытая или, говоря иначе, масса есть адиабатически заторможенная величина)[40][41][42][43], и адиабатной изоляции как допускающей обмен энергией только в форме работы[44][45]. Восстановить эквивалентность приведённых выше формулировок об адиабатной изоляции удаётся, если модифицировать дефиницию теплоты по Клаузиусу, добавив к теплоте и работе третью форму передачи энергии — энергию переноса массы Z[46][47]:

 Q \equiv \Delta U - W - Z , (Модифицированная дефиниция теплоты для открытой системы)

где \delta Z задаётся выражением для химической работы.

Вторая причина отдельного рассмотрения вопроса об энтропии открытых систем заключается в следующем. За исключением химического потенциала все входящие в пфаффову форму \delta Q для открытой системы переменные в рамках термодинамического формализма представляют собой неопределяемые величины, заимствуемые из других разделов физики, что подразумевает необязательность их описания в самой термодинамике. Химический потенциал вводится в термодинамике и либо должен быть отнесён к базовым неопределяемым понятиям, для которых возможно только пояснительное описание, либо же от термодинамики требуется точная дефиниция химического потенциала. Как неопределяемую величину химический потенциал можно вводить одновременно с температурой и энтропией (более, того П. А. Жилин[48] считает такой подход единственно правильным[49]), но традиционно химический потенциал предпочитают вводить в рассмотрение как вторичную переменную на основе предварительно сформированного представления об энтропии открытой системы. Для этого вслед за У. Гиббсом[50][43] без доказательства принимают утверждение о существовании энтропии открытой системы[51][52][53]

 S = S(U,\{x_i\},\{m_j\}) (Энтропия открытой однородной системы по Гиббсу; фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении)

как функции состояния, при неизменности масс компонентов совпадающей с энтропией однородной закрытой системы. Из фундаментального уравнения Гиббса в дифференциальной форме[53]

d S = \frac {1} {T} d U - \frac {1} {T} \sum_i X_i d x_i - \frac {1} {T} \sum_j \mu_j d m_j . (Дифференциальная форма фундаментального уравнения Гиббса для энтропии)

находим значения частных производных энтропии:

 \left (\frac {\partial S}{\partial U} \right)_{ \{x_i\},\{m_j\} } = \frac {1} {T} ,
 \left (\frac {\partial S}{\partial x_r} \right)_{U, \{x_{i \neq r} \},\{m_j\} } = - \frac {X_r} {T} ,
 \left (\frac {\partial S}{\partial V} \right)_{x_i \neq V,\{m_j\} } = \frac {P} {T} .

Химический потенциал k-го компонента выразим через частную производную энтропии по массе этого компонента[54]:

 \mu_k \equiv - T \left (\frac {\partial S}{\partial m_k} \right)_{U,\{x_i\},\{m_{j \neq k} \} } . (Дефиниция химического потенциала компонента)

Энтропия в термодинамике Гиббса[править | править вики-текст]

Построение теории на основе постулирования существования энтропии как функции состояния, в состав независимых переменных которой входят массы компонентов, составляет главное содержание термодинамики Гиббса[55], а способ, каким выполнено распространение термодинамики Клаузиуса на открытые системы, позволяет говорить об аксиоматике Гиббса[56][43]. В термодинамике Гиббса вводят понятия компонента системы, фазы и многофазной гетерогенной системы, постулируют существование внутренней энергии U и энтропии S как функций состояния, постулируют связь этих функций с независимыми переменными состояния в виде фундаментальных уравнений Гиббса в энергетическом и энтропийном выражениях, постулируют аддитивность входящих в фундаментальные уравнения функций и независимых переменных, постулируют, что T есть абсолютная термодинамическая температура, вводят химический потенциал \mu и постулируют общее условие термодинамического равновесия в системе[57], рассматриваемое далее в числе свойств энтропии.

Энтропия в рациональной термодинамике[править | править вики-текст]

Свойства энтропии[править | править вики-текст]

Перечисление свойств энтропии дано применительно к термодинамике Гиббса; примеры, приводимые для иллюстрации перечисляемых свойств энтропии, относятся, как правило, к открытым однородным термодеформационным системам, для которых справедливо фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении[58][59]:

 S = S(U,V,\{m_j\}) . (Фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении для открытой термодеформационной системы)
  • Энтропия есть величина аддитивная[62][63][64][65], т. е. энтропия термодинамической системы равна сумме энтропий всех её частей. Аддитивность энтропии позволяет распространить это понятие на термодинамические системы любой сложности.
Как следствие аддитивности получаем, что энтропия в фундаментальном уравнении в энтропийном выражении есть однородная функция первого порядка всех независимых переменных[66][61], т. е. для  \lambda > 0
 S(U,V,\{m_j\}) = S(\lambda U,\lambda V,\{\lambda m_j\}) ,
и для неё справедливо тождество (теорема) Эйлера[67]:
 S = U \left (\frac {\partial S}{\partial U} \right)_{V,\{m_j\} } ~+~ V \left (\frac {\partial S}{\partial V} \right)_{U,\{m_j\} } ~+~ \sum_j m_j \left (\frac {\partial S}{\partial m_j} \right)_{U,V,\{m_{j \neq k} \} } = \frac {1} {T} U ~~+~~ \frac {1} {T} PV ~~-~~ \frac {1} {T} \sum_j \mu_j m_j.
  • Для однородной системы частная производная энтропии по внутренней энергии есть величина, обратная абсолютной термодинамической температуре (термодинамическая дефиниция температуры как следствие второго начала термодинамики)[68][69][70][71]:

 T \equiv \left [ \left ( \frac { \partial S}{ \partial U} \right )_{V,\{x_i\}} \right ]^{-1} . (Термодинамическая дефиниция температуры)
В соответствии с теоремой об обратных величинах[72] это определение совпадает с дефиницией равновесной температурой по Гиббсу[73][69][70]:

 T \equiv \left ( \frac { \partial U}{ \partial S} \right )_{V,\{x_i\}} . (Термодинамическая температура по Гиббсу)
  • Энтропия есть величина полуограниченная. Традиционно принимают, что энтропия ограничена снизу, т. е. для каждой термодинамической системы существует состояние с наименьшей энтропией[76].
 0 < T < \infty .
Нуль и бесконечность допустимы в качестве пределов[76].
  • Для любой термодинамической системы состояния с наименьшей энтропией и наименьшей температурой совпадают (постулат Планка)[76][77]. С приближением температуры к абсолютному нулю энтропия перестаёт зависеть от температуры и приближается к определённому постоянному значению, которое можно положить равным нулю[78] и принять за начало отсчёта энтропии, устранив тем самым упомянутый в разделе Энтропия простой системы произвол в выборе постоянной интегрирования для энтропии:

 \lim \limits_{T \to \, 0} S = 0 . (Третье начало термодинамики; тепловая теорема Нернста)
Согласно постулату Тиссы внутренняя энергия ограничена и эта граница соответствует абсолютному нулю температуры[76][79]. Таким образом, состояние системы при абсолютном нуле температуры, когда все термодинамические величины, характеризующие равновесное состояние, перестают зависеть от температуры[80], наилучшим образом подходит в качестве стандартного состояния начала отсчёта основных термодинамических величин.
  • Энтропия изолированной системы в состоянии термодинамического равновесия имеет максимальное значение (постулат Гиббса)[81][80], т. е. для равновесия изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы при всех возможных (не нарушающих постоянства внутренней энергии, обобщённых координат и масс компонентов) изменениях её состояния вариация энтропии  \Delta S системы не была положительной[82]:

 (\Delta S)_{U,\{x_i\},\{m_j\} } \leqslant 0 . (Условие равновесия изолированной системы)
Поскольку речь идёт об изолированной системе, внешнее воздействие на которую запрещено, понятие вариации в данном случае означает виртуальное изменение энтропии[83]. Знак равенства в этом выражении относится к безразличному равновесию.
Условие равновесия Гиббса вытекает из входящего в состав второго начала термодинамики постулата Клаузиуса о неубывании энтропии адиабатно изолированной системы[82]

Энтропия как характеристическая функция[править | править вики-текст]

Энтропия и теплота равновесного процесса[править | править вики-текст]

Из выражения для первого начала в открытой однородной системе и дифференциальной формы фундаментального уравнения Гиббса для энтропии получаем выражение для элементарной теплоты равновесного процесса:

 \delta Q ~=~ TdS (Теплота элементарного равновесного процесса)

(для простой равновесной системы это выражение непосредственно вытекает из дефиниции энтропии).

Данное соотношение, связывающее термодинамику Клаузиуса с термодинамикой Гиббса, представляет интерес для пользователей, которым требуется изложить материал из старой учебной и научной литературы с применением терминологии, либо вовсе не использующей понятие «теплота», либо использующей его как определяемое через энтропию и абсолютную температуру вторичное понятие.

Энтропия как характеристика изотермического процесса[править | править вики-текст]

Зависимость удельной энтропии воды от температуры

Для равновесного изотермического процесса с нулевой работой интегрирование выражения для теплоты равновесного процесса даёт следующее выражение для изменения внутренней энергии:

 \Delta U ~=~ Q ~+~ W ~=~ T \Delta S ,

т. е. в любом равновесном изотермическом процессе с нулевой работой энергия расходуется на увеличение энтропии системы и выделяется при уменьшении энтропии.

Рассмотрим в качестве примера фазовые переходы в воде при атмосферном давлении (см. рисунок). При таянии льда подводимая к системе энергия расходуется на увеличение энтропии системы вследствие изменения структуры H2O, тогда как температура системы лёд + вода остаётся близкой к 0 °C (273 К) до полного исчезновения льда. При замерзании воды имеет место обратная ситуация: энергия выделяется в окружающую среду при 0 °C. Нагрев воды, образовавшейся при таянии льда, ведёт к повышению температуры воды вплоть до её закипания при 100 °C (373 К). Кипение воды при постоянном давлении есть процесс изотермический: подводимая энергия расходуется на испарение воды и увеличение энтропии системы вода + водяной пар, тогда как температура остаётся близкой к 100 °C до полного исчезновения жидкой воды.

Статистическое определение энтропии: принцип Больцмана[править | править вики-текст]

В 1877 году Людвиг Больцман установил связь энтропии с вероятностью данного состояния. Позднее эту связь представил в виде формулы Макс Планк:

S=k\cdot\ln(\Omega)

где константа k=1,38·10−23 Дж/К названа Планком постоянной Больцмана, а \Omega — статистический вес состояния, является числом возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно составить данное макроскопическое состояние. Этот постулат, названный Альбертом Эйнштейном принципом Больцмана, положил начало статистической механике, которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы (\Omega) с одним из её термодинамических свойств (S).

Рассмотрим, например, идеальный газ в сосуде. Микросостояние определено как позиции и импульсы (моменты движения) каждого составляющего систему атома. Связность предъявляет к нам требования рассматривать только те микросостояния, для которых: (I) месторасположения всех частей расположены в рамках сосуда, (II) для получения общей энергии газа кинетические энергии атомов суммируются.

Согласно определению, энтропия является функцией состояния, то есть не зависит от способа достижения этого состояния, а определяется параметрами этого состояния. Так как \Omega может быть только натуральным числом (1, 2, 3, …), то энтропия Больцмана должна быть неотрицательной — исходя из свойств логарифма.

Понимание энтропии как меры беспорядка[править | править вики-текст]

Существует мнение, что мы можем смотреть на энтропию и как на меру беспорядка в системе. В определённом смысле это может быть оправдано, потому что мы думаем об «упорядоченных» системах как о системах, имеющих очень малую возможность конфигурирования, а о «беспорядочных» системах как об имеющих очень много возможных состояний. Собственно, это просто переформулированное определение энтропии как числа микросостояний на данное макросостояние.

Рассмотрим, например, распределение молекул идеального газа. В случае идеального газа наиболее вероятным состоянием, соответствующим максимуму энтропии, будет равномерное распределение молекул. При этом реализуется и максимальный «беспорядок», так как при этом будут максимальные возможности конфигурирования.

Границы применимости понимания энтропии как меры беспорядка[править | править вики-текст]

Подобное определение беспорядка термодинамической системы как количества возможностей конфигурирования системы фактически дословно соответствует определению энтропии как числа микросостояний на данное макросостояние. Проблемы начинаются в двух случаях:

  • когда начинают смешивать различные понимания беспорядка, и энтропия становится мерой беспорядка вообще;
  • когда понятие энтропии применяется для систем, не являющихся термодинамическими.

В обоих этих случаях применение понятия термодинамической энтропии совершенно неправомерно[84].

Рассмотрим оба пункта подробнее.

Рассмотрим пример термодинамической системы — распределение молекул в поле тяготения. В этом случае наиболее вероятным распределением молекул будет распределение согласно барометрической формуле Больцмана. Другой пример — учёт электромагнитных сил взаимодействия между ионами. В этом случае наиболее вероятным состоянием, соответствующим минимуму свободной энергии, будет упорядоченное кристаллическое состояние, а совсем не «хаос», хотя в состоянии «хаоса» значение конфигурационной энтропии системы и ниже. (Термин «хаос» здесь понимается в смысле беспорядка — в наивном смысле. К хаосу в математическом смысле как сильно неустойчивой нелинейной системе это не имеет отношения, конечно.)

Рассмотрим случай с кристаллической решёткой более подробно. Кристаллическая решётка может быть и в равновесном, и в неравновесном состоянии, как и любая термодинамическая система. Скажем, возьмём следующую модель — совокупность взаимодействующих осцилляторов. Рассмотрим некоторое неравновесное состояние: все осцилляторы имеют одинаковое отклонение от положения равновесия. С течением времени эта система перейдёт в состояние ТД равновесия, в котором отклонения (в каждый момент времени) будут подчинены некоторому распределению типа Максвелла (только это распределение будет для отклонений, и оно будет зависеть от типа взаимодействия осцилляторов). В таком случае максимум энтропии будет действительно реализовывать максимум возможностей конфигурирования, то есть — беспорядок согласно вышеуказанному определению. Но данный «беспорядок» вовсе не соответствует «беспорядку» в каком-либо другом понимании, например, информационному. Такая же ситуация возникает и в примере с кристаллизацией переохлаждённой жидкости, в которой образование структур из «хаотичной» жидкости идёт параллельно с увеличением энтропии.

То есть при образовании кристалла из переохлажденной жидкости энтропия увеличивается с одновременным ростом температуры. Если кристаллизация сопровождается отводом тепла из системы, то энтропия при этом уменьшится.

Это неверное понимание энтропии появилось во время развития теории информации, в связи с парадоксом термодинамики, связанным с мысленным экспериментом т. н. «демона Максвелла». Суть парадокса заключалась в том, что рассматривалось два сосуда с разными температурами, соединённых узкой трубкой с затворками, которыми управлял т. н. «демон». «Демон» мог измерять скорость отдельных летящих молекул, и таким образом избирательно пропускать более быстрые в сосуд с высокой температурой, а более медленные — в сосуд с низкой. Из этого мысленного эксперимента вытекало кажущееся противоречие со вторым началом термодинамики.

Парадокс может быть разрешён при помощи теории информации. Для измерения скорости молекулы «демон» должен был бы получить информацию о её скорости. Но всякое получение информации — материальный процесс, сопровождающийся возрастанием энтропии. Количественный анализ[85] показал, что приращение энтропии при измерении превосходит по абсолютной величине уменьшение энтропии, вызванное перераспределением молекул «демоном».

Измерение энтропии[править | править вики-текст]

В реальных экспериментах очень трудно измерить энтропию системы. Техники измерения базируются на термодинамическом определении энтропии и требуют экстремально аккуратной калориметрии.

Для упрощения мы будем исследовать механическую систему, термодинамические состояния которой будут определены через её объем V и давление P. Для измерения энтропии определенного состояния мы должны сперва измерить теплоёмкость при постоянных объёме и давлении (обозначенную CV и CP соответственно), для успешного набора состояний между первоначальным состоянием и требуемым. Тепловые ёмкости связаны с энтропией S и с температурой T согласно формуле:

C_X = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_X

где нижний индекс X относится к постоянным объёму и давлению. Мы можем проинтегрировать для получения изменения энтропии:

\Delta S = \int \frac{C_X}{T} dT

Таким образом, мы можем получить значение энтропии любого состояния (P,V) по отношению к первоначальному состоянию (P0,V0). Точная формула зависит от нашего выбора промежуточных состояний. Для примера, если первоначальное состояние имеет такое же давление, как и конечное состояние, то

 S(P,V) = S(P_0, V_0) + \int^{T(P,V)}_{T(P_0,V_0)} \frac{C_P(P,V(T,P))}{T} dT

В добавление, если путь между первым и последним состояниями лежит сквозь любой фазовый переход первого рода, скрытая теплота, ассоциированная с переходом, должна также учитываться.

Энтропия первоначального состояния должна быть определена независимо. В идеальном варианте выбирается первоначальное состояние как состояние при экстремально высокой температуре, при которой система существует в виде газа. Энтропия в этом состоянии подобна энтропии классического идеального газа плюс взнос от молекулярных вращений и колебаний, которые могут быть определены спектроскопически.

Построение графика изменения энтропии[править | править вики-текст]

Следующее уравнение может быть использовано для построения графика изменения энтропии на диаграмме P—V для идеального газа:

 S = n\ \ln (P^{C_V} V^{C_P})

Здесь два замечания:

  • это не определение энтропии (но выведено из него для случая идеального газа);
  • предполагается, что C_V и C_P постоянные, что на самом деле не всегда так.

Интересные высказывания[править | править вики-текст]

  • Гельмгольц обратил внимание на тот факт, что […] абсолютная температура любого тела есть не что иное, как тот интегрирующий делитель для элементарного количества теплоты, который зависит от одной только температуры тела (отсчитанной по произвольно выбранной шкале). […] Понимание обсуждаемого вопроса формулируется очень отчётливо: в термодинамику вводятся две новые физические величины — энтропия и абсолютная температура; этот шаг подлежит обоснованию. Столь же отчётливо определяется общий подход к решению поставленного вопроса, который сводится к задаче об интегрирующем делителе для элементарного количества теплоты (А. А. Гухман[86]).
  • Семь раз за последние тридцать лет я старался проследить аргументацию Клаузиуса, пытавшегося доказать, что интегрирующий множитель существует в общем случае и есть функция только температуры, одинаковая для всех тел, и семь раз это совершенно обескураживало меня (К. Трусделл[87]).
  • Вы далеко не новички в термодинамике; к несчастью, я также перенёс обучение этой науке. […] Если элементарный курс физики дает возможность студенту усвоить некоторые истины относительно механики, которые нужно закрепить, и некоторые заблуждения, которые нужно исправить, то элементарный курс термодинамики обогащает его запас слов и путаницу понятий. […] Я повторяю в течение уже многих лет, пренебрегая насмешками людей, наделённых физической интуицией, что температура и энтропия являются наряду с массой, положением и временем первоначальными неопределяемыми переменными. Они описываются только такими свойствами, которые можно выразить языком математики. […] В своём великом трактате Ньютон не говорит ни единого слова о том, что такое сила и как её измерять. Его величайший вклад в механику — это понятие силы a priori. […] В термодинамике XIX в. не было Ньютона, который дал бы ей рецепты решения проблем. Вместо этого вновь и вновь пережёвывались физические основы того, что теперь рассматривается как одна частная проблема термодинамики, но что в то время ошибочно считалось сутью предмета, настоящей теорией «вселенной», этого излюбленного термина мрачных пророков термодинамики (К. Трусделл[88]).
  • Я избегаю в своей книге… термина [энтропия] и сопровождающих его терминов «состояние», «первый закон термодинамики», «второй закон термодинамики», «обратимый», «кипятильник», «вселенная» и т. д. ad nauseam [до отвращения (лат.)], чтобы избавить читателя от путаницы, которая обычно проистекает от их использования (К. Трусделл[89]).
  • В литературе по физике и термодинамике часто можно встретить утверждения типа: «Химическим потенциалом называется производная от внутренней (или свободной) энергии по массе (или числу частиц)». При этом подразумевается, что внутренняя (или свободная) энергия откуда-то известна, хотя определения этих понятий отсутствуют. …Будет показано, что понятия энергии, температуры, энтропии и химического потенциала вводятся одновременно и по отдельности определить их принципиально нельзя. Методика введения этих понятий показывает, что можно ввести в рассмотрение много различных температур и, соответственно, энтропий, отвечающих разным энергетическим потокам. Например, можно ввести температуры трансляционных и спинорных движений, температуру радиационных излучений и т. д. (П. А. Жилин[90]).
  • Статистическими методами не только нельзя доказать закон возрастания энтропии; до сих пор нет ясности даже в вопросе о том, в чём основание тех качественно новых закономерностей, которые характерны для больших физических систем. Совсем недавно было высказано мнение (как мне кажется, правильное), что для больших систем специфична невозможность изоляции, даже приближённо, и что эта принципиальная незамкнутость больших систем и есть основание макроскопической необратимости. Однако никакого настоящего вывода термодинамических законов из этого положения до сих пор нет. […] Что же касается принципа возрастания энтропии, то, по-видимому, вопреки распространённому мнению, его нельзя вывести из эмпирических фактов строго дедуктивно. Можно лишь показать, что развитие следствий из основных эмпирических законов естественно приводит к гипотезе о возрастании энтропии, гипотезе, которая в состоянии заменить Второй закон термодинамики и из которой следует конструктивное определение энтропии. Однако вводить с самого начала эту гипотезу в качестве одного из основных термодинамических законов было бы неудобно, так как её эмпирическое содержание сначала совершенно неясно (В. С. Сорокин[91]).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Клаузиус Р., Механическая теория тепла, 1934.
  2. Каратеодори К., Об основах термодинамики, 1964.
  3. Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика, 1982
  4. Хазен А. М., Разум природы и разум человека, 2000, глава VI, раздел 4. Полная и замкнутая формулировка аксиоматического определения энтропии и начал термодинамики.
  5. Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 35.
  6. Семенченко В. К., Избранные главы теоретической физики, 1966, с. 54.
  7. Clausius R., Die mechanische Wärmetheorie, Bd. 1, 1887, с. 33.
  8. Борн М., Критические замечания по поводу традиционного изложения термодинамики, с. 230–231.
  9. Знак + или - перед W есть результат соглашения, какую работу считать положительной — совершаемую системой или совершаемую над системой. Встречающиеся в научной и учебной литературе варианты формулировок первого начала, отличающиеся знаками входящих в формулы величин, эквивалентны друг другу.
  10. Борн М., Критические замечания по поводу традиционного изложения термодинамики, с. 231.
  11. Элементарным (инфинитезимальным) называют процесс, для которого разница между начальным и конечным состояниями системы бесконечно мала.
  12. Простой называют закрытую термодеформационную систему, представляющую собой однородную изотропную среду (фазу) неизменного химического состава и массы, описываемую посредством переменных  P (давление),  V (объём) и  T (температура). Такая система обладает двумя термодинамическими степенями свободы, т. е. только две переменные состояния из трёх перечисленных являются независимыми. К простым системам относятся, в частности, газы и жидкости (флюиды) в ситуации, когда поверхностными эффектами и наличием внешних силовых полей можно пренебречь. В более широкой трактовке под простой понимают любую термодеформационную систему с двумя степенями свободы, т. е. такую термодинамическую систему, единственным видом работы которой является работа расширения (Сычев В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 1991, с. 9).
  13. Сивухин Д. В., Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 59.
  14. 1 2 Радушкевич Л. В., Курс термодинамики, 1971, с. 36.
  15. Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 37.
  16. Кричевский И. Р., Понятия и основы термодинамики, 1970, с. 270.
  17. Сычев В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 1991, с. 22.
  18. 1 2 Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 13.
  19. Квасников И. А., Термодинамика и статистическая физика, т. 1, 2002, с. 43.
  20. 1 2 Сычев В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 1991, с. 24.
  21. Радушкевич Л. В., Курс термодинамики, 1971, с. 111.
  22. 1 2 Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 27.
  23. Сычев В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 13.
  24. Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 21.
  25. Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 27–29.
  26. Семенченко В. К., Избранные главы теоретической физики, 1966, с. 55.
  27. Сычев В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 14.
  28. 1 2 Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 20.
  29. Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 38.
  30. Радушкевич Л. В., Курс термодинамики, 1971, с. 38.
  31. 1 2 Глазов В. М., Основы физической химии, 1981, с. 29.
  32. 1 2 Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 40.
  33. Сейдж Б. Х., Термодинамика многокомпонентных систем, 1969, с. 54.
  34. Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д., Физико-химические основы неорганической химии, 2004, с. 11.
  35. Lebon G. e. a., Understanding Non-equilibrium Thermodynamics, 2008, p. 14.
  36. Жариков В. А., Основы физической геохимии, 2005, уравнение (2.4).
  37. Callen H. B., Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1986, p. 36.
  38. Сычев В. В., Сложные термодинамические системы, 1986, с. 182.
  39. Использование масс компонентов, а не масс составляющих систему веществ в качестве обобщённых координат в выражении для химической работы означает отказ от прямого рассмотрения влияния химических реакций на массы веществ, ибо химические превращения в системе уже учтены при подсчёте числа компонентов.
  40. Квасников И. А., Молекулярная физика, 2009, с. 31.
  41. Квасников И. А., Термодинамика и статистическая физика, т. 1, 2002, с. 22.
  42. 1 2 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 66.
  43. 1 2 3 Tisza L., Generalized Thermodynamics, 1966.
  44. Бэр Г. Д., Техническая термодинамика, 1977, с. 73.
  45. Залевски К., Феноменологическая и статистическая термодинамика, 1973, с. 9.
  46. Пригожин И., Кондепуди Д., Современная термодинамика, 2002, с. 52.
  47. Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 16.
  48. Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред, 2012.
  49. «…Понятия энергии, температуры, энтропии и химического потенциала вводятся одновременно и по отдельности определить их принципиально нельзя» (с. 48), «…Нельзя сначала определить внутреннюю энергию, а затем химический потенциал и энтропию. Все эти понятия могут быть введены только одновременно» (с. 140).
  50. Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 43.
  51. Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 50.
  52. Callen H. B., Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1985, p. 28—29.
  53. 1 2 Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 69.
  54. Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 70.
  55. Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 67.
  56. Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 44.
  57. Сам Гиббс эти постулаты в своей основной термодинамической работе «О равновесии гетерогенных веществ» формулировал по мере необходимости, как бы мимоходом, и не называл принимаемые им без доказательства утверждения ни аксиомами, ни постулатами
  58. 1 2 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 71–72.
  59. Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 90–91.
  60. Callen H. B., Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1986, p. 28.
  61. 1 2 3 Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 92.
  62. Сорокин В. С., Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику, 2004, с. 55.
  63. Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 85—86.
  64. Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, 1955, с. 52.
  65. В термодинамике различают аддитивность по размерам системы (длине упругого стержня или пружины, площади поверхности раздела, объёму) и аддитивность по массе. Ясно, что последнее понятие не универсально, и даже аддитивность экстенсивных переменных по объёму не гарантирует, что к этим переменным применимо представление об аддитивности по массе. Например, оно непригодно для аддитивных по объёму переменных фотонного газа — системы с нулевой массой.
  66. Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 62.
  67. Тер Хаар Д., Вергеланд Г., Элементарная термодинамика, 1968, с. 117.
  68. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1, 2002, с. 51.
  69. 1 2 Guggenheim E. A., Thermodynamics, 1986, p. 15.
  70. 1 2 Callen H. B., Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1986, p. 35.
  71. Falk G., Jung H., Axiomatik der Thermodynamik, 1959, S. 156.
  72. Сычев В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 1991, с. 15.
  73. Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика, 1982, с. 93.
  74. Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 53.
  75. Отрицательная температура (рус.). БСЭ, 3-е изд., 1975, т. 19.
  76. 1 2 3 4 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 68.
  77. Callen H. B., Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1985, p. 30.
  78. Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 92.
  79. Tisza L., Generalized Thermodynamics, 1966, p. 125.
  80. 1 2 Новиков И. И., Термодинамика, 1984, с. 106.
  81. Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 121.
  82. 1 2 Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 102.
  83. Мысленное допустимое (не противоречащее условиям существования системы) изменение энтропии, не зависящее от времени. Встречающееся в литературе определение вариации как отклонения от равновесия, допускаемого наложенными на систему связями (условиями), означает то же самое.
  84. Lambert Frank L. A Brief Introduction to the Second Law and to Entropy for Chemistry Students
  85. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. — М., 1960.
  86. Гухман А. А., Об основаниях термодинамики, 2010, с. 352—353.
  87. Truesdell C., The Tragicomical History of Thermodynamics, 1980, p. 335.
  88. Трусделл К., Термодинамика для начинающих, 1970, с. 116—118
  89. Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред, 1975, с. 403.
  90. Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред, 2012, с. 48.
  91. Сорокин В. С., Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику, 2004, с. 5—6.

Литература[править | править вики-текст]

  • Callen H. B. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. — 2nd ed. — N. Y. e. a.: John Wiley, 1985. — XVI + 493 p. — ISBN 0471862568, 9780471862567.
  • Clausius R. Die mechanische Wärmetheorie. Band 1. — 3 Auflage. — Braunschweig: Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1887. — XVI + 403 S.
  • Ehrenfest-Afanassjewa T. Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1925. — Vol. 33, Nr. 1. — P. 933–945.
  • Ehrenfest-Afanassjewa T. Berichtigung zu der Arbeit: Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1925. — Vol. 34, Nr. 1. — P. 638.
  • Ehrenfest-Afanassjewa T. Die Grundlagen der Thermodynamik. — Leiden: E.J. Brill, 1956. — XII + 131 с.
  • Falk G., Jung H. Axiomatik der Thermodynamik (нем.) // Flügge S. (ed.). Encyclopedia of Physics / Flügge S. (Hrsg.). Handbuch der Physik. — Springer-Verlag, 1959.. — Vol. III/2. Principles of Thermodynamics and Statistics / Band III/2. Prinzipien der Thermodynamik und Statistik, S. 119–175.
  • Guggenheim E. A. Thermodynamics: An Advanced Treatment for Chemists and Physicists. — 8th ed. — Amsterdam: North-Holland, 1986. — XXIV + 390 p. — ISBN 0444869514, 9780444869517.
  • Lebon G., Jou D., Casas-Vázquez J. Understanding Non-equilibrium Thermodynamics: Foundations, Applications, Frontiers. — Berlin—Heidelberg: Springer, 2008. — XIII + 325 p. — ISBN 978-3-540-74251-7, 978-3-540-74252-4. — DOI:10.1007/978-3-540-74252-4
  • Noll W. The Foundations of Mechanics and Thermodynamics: Selected Papers. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1974. — X + 324 p. — ISBN 978-3-642-65819-8.
  • Reif F. Fundamentals of statistical and thermal physics. — McGraw-Hill, 1965.
  • Tisza Laszlo. Generalized Thermodynamics. — Cambridge (Massachusetts) — London (England): The M.I.T. Press, 1966. — XI + 384 p.
  • Truesdell C. The Tragicomical History of Thermodynamics, 1822–1854. — New York — Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1980. — XII + 372 p. — (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 4). — ISBN 978-1-4613-9446-4.
  • Truesdell C., Bharatha S. The Concepts and Logic of Classical Thermodynamics as a Theory of Heat Engines. — New York — Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1977. — XVII + 154 p. — ISBN 3-540-07971-8.
  • Truesdell C. Rational Thermodynamics. — New York — Berlin — Heidelberg — Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — XVIII + 578 p. — ISBN 0-387-90874-9.
  • Wehrl Alfred General properties of entropy (англ.) // Reviews of Modern Physics. — American Physical Society, 1978.. — Vol. 50, no. 2. — P. 221–260. — DOI:10.1103/RevModPhys.50.221.
  • Алексеев Г. Н. Энергия и энтропия. — М.: Знание, 1978. — 192 с. — (Жизнь замечательных идей).
  • Архаров А. М., Исаев С. И., Кожинов И. А. и др. Теплотехника / Под. общ. ред. В. И. Крутова. — М.: Машиностроение, 1986. — 432 с.
  • Ауэрбах Ф. Царица мира и ее тень. — 6-е изд. — Одесса: Матезис, 1913. — VIII + 50 с.
  • Афанасьева-Эренфест Т. А. Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики (рус.) // Журнал прикладной физики. — 1928. — Vol. 5, № 3–4. — P. 3—30.
  • Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
  • Белоконь Н. И. Термодинамика. — М.: Госэнергоиздат, 1954. — 416 с.
  • Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 112 с.
  • Борн М. Критические замечания по поводу традиционного изложения термодинамики (рус.) // Развитие современной физики. — М.: Наука, 1964, с. 223—256..
  • Бэр Г. Д. Техническая термодинамика. — М.: Мир, 1977. — 519 с.
  • Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. — М.: Наука, 1986. — 192 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
  • Воронин Г. Ф. Основы термодинамики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. — 192 с.
  • Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1981. — 536 с.
  • Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
  • Гиббс Дж. В. Термодинамические работы / Пер. с англ. под ред. проф. В. К. Семенченко. — М. — Л.: Гостехтеориздат, 1950. — 492 с. — (Классики естествознания).
  • Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М.: Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
  • Глазов В. М. Основы физической химии. — М: Высшая школа, 1981. — 456 с.
  • Гухман А. А. Об основаниях термодинамики. — 2-е изд., испр. — М.: Изд-во ЛКИ, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-382-01105-9.
  • Жариков В. А. Основы физической геохимии. — М.: Наука; Изд-во МГУ, 2005. — 656 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-211-04849-0, 5-02-035302-7.
  • Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. — 2-е изд. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. — 584 с. — ISBN 978-5-7422-3248-3.
  • Залевски К. Феноменологическая и статистическая термодинамика: Краткий курс лекций / Пер. с польск. под. ред. Л. А. Серафимова. — М.: Мир, 1973. — 168 с.
  • Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика / Пер. с нем.. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. — 480 с.
  • Квасников И. А. Молекулярная физика. — М.: Эдиториал УРСС, 2009. — 232 с. — ISBN 978-5-901006-37-2.
  • Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1: Теория равновесных систем: Термодинамика. — 2-е изд., сущ. перераб. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 240 с. — ISBN 5-354-00077-7.
  • Каратеодори К. Об основах термодинамики (рус.) // Развитие современной физики. — М.: Наука, 1964, с. 3—22..
  • Клаузиус Р. Механическая теория тепла (рус.) // Второе начало термодинамики. — М.—Л.: Гостехиздат, 1934, с. 70—158..
  • Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики. — 2-е изд., пересмотр. и доп. — М.: Химия, 1970. — 440 с.
  • Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2002. — 616 с. — (Теоретическая физика в 10 томах. Том 5). — ISBN 5-9221-0054-8.
  • Леонова В. Ф. Термодинамика. — М.: Высшая школа, 1968. — 159 с.
  • Морачевский А. Г., Смирнова Н. А., Пиотровская Е. М. и др. Термодинамика равновесия жидкость—пар / Под ред. А. Г. Морачевского. — Л: Химия, 1989. — 344 с. — ISBN 5-7245-0363-8.
  • Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
  • Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
  • Осипов А.И., Уваров А.В. Энтропия и ее роль в науке // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 70-79.
  • Полянин А. Д., Полянин В. Д., Попов В. А. и др. Краткий справочник для инженеров и студентов. — М.: Международная программа образования, 1996. — 432 с. — ISBN 5-7753-0001-7.
  • Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / Пер. с англ. — М.: Мир, 2002. — 462 с.
  • Путилов К. А. Термодинамика / Отв. ред. М. Х. Карапетьянц. — М.: Наука, 1971. — 376 с.
  • Радушкевич Л. В. Курс термодинамики. — М.: Просвещение, 1971. — 288 с.
  • Развитие современной физики. Сборник статей / Отв. ред. Кузнецов Б. Г.. — М.: Наука, 1964. — 331 с.
  • Свиридонов М. Н. Развитие понятия энтропии в работах Т. А. Афанасьевой-Эренфест (рус.) // История и методология естественных наук. Выпуск X. Физика. — Издательство МГУ, 1971.. — P. 112—129.
  • Сейдж Б. Х. Термодинамика многокомпонентных систем. — М: Недра, 1969. — 304 с.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 5-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 544 с. — ISBN 5-9221-0601-5.
  • Сорокин В. С. Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 174 с. — ISBN 5-9221-0507-8.
  • Сычев В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 2-е изд., перераб. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с. — ISBN 5-06-002071-1.
  • Сычев В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 3-е изд. — М.: Изд-во МЭИ, 2010. — 256 с. — ISBN 978-5-383-00584-2.
  • Тер Хаар Д., Вергеланд Г. Элементарная термодинамика / Пер. с англ.. — М.: Мир, 1968. — 220 с..
  • Термодинамика необратимых процессов. Лекции в летней международной школе физики им. Энрико Ферми / Под ред. Д. Н. Зубарева. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — 427 с.
  • Трайбус М. Термостатика и термодинамика. — М: Энергия, 1971. — 503 с.
  • Трусделл К. Термодинамика для начинающих (рус.) // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. — М.: Мир, 1970.. — № 3 (121), с. 116—128.
  • Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Пер. с англ. под. ред. П. А. Жилина и А. И. Лурье. — М.: Мир, 1975. — 592 с.
  • Фен Дж. Машины, энергия, энтропия. — М.: Мир, 1986. — 335 с.
  • Fermi, E., Thermodynamics, Prentice Hall (1937). — Русский перевод: Ферми, Энрико, Термодинамика, Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1969. — 140 с.
  • Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. — М.: Мир, 1967. — 544 с.
  • Черноуцан А. И. Краткий курс физики. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9921-0292-3.
  • Хазен А. М. Разум природы и разум человека. — М.: РИО «Мособлполиграфиздата»; НТЦ «Университетский», 2000. — 600 с. — ISBN 5-7953-0044-6.
  • Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии / Пер. с франц. — М.: Наука, 1967. — 279 с.

Ссылки[править | править вики-текст]