Тест Дики — Фуллера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тест Дики — Фуллера (DF-тест, Dickey — Fuller test) — это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Является одним из тестов на единичные корни (Unit root test). Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики (англ.) и Уэйном Фуллером (англ.).[1]

За вклад в исследование коинтегрированных процессов с использованием предложенного теста Дики — Фуллера проверки на стационарность, в 2003 году Клайв Грейнджер (Clive Granger) получил Нобелевскую премию по экономике.[2]

Понятие единичного корня[править | править код]

Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как если ряд первых разностей является стационарным .

При помощи этого теста проверяют значение коэффициента в авторегрессионном уравнении первого порядка AR(1)

где  — временной ряд, а  — ошибка.

Если , то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд не стационарен, является интегрированным временным рядом первого порядка — . Если , то ряд стационарный — .

Для финансово-экономических процессов значение не свойственно, так как в этом случае процесс является «взрывным». Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.

Сущность DF-теста[править | править код]

Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде:[3]

где , а  — оператор разности первого порядка .

Поэтому проверка гипотезы о единичном корне в данном представлении означает проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента . Поскольку случай «взрывных» процессов исключается, то тест является односторонним, то есть альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что коэффициент меньше нуля. Статистика теста (DF-статистика) — это обычная -статистика для проверки значимости коэффициентов линейной регрессии. Однако, распределение данной статистики отличается от классического распределения -статистики (распределение Стьюдента или асимптотическое нормальное распределение). Распределение DF-статистики выражается через винеровский процесс и называется распределением Дики — Фуллера.

Существует три версии теста (тестовых регрессий):

  1. Без константы и тренда
  1. С константой, но без тренда:
  1. С константой и линейным трендом:

Для каждой из трёх тестовых регрессий существуют свои критические значения DF-статистики, которые берутся из специальной таблицы Дики — Фуллера (МакКиннона). Если значение статистики лежит левее критического значения (критические значения — отрицательные) при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза о единичном корне отклоняется и процесс признается стационарным (в смысле данного теста). В противном случае гипотеза не отвергается и процесс может содержать единичные корни, то есть быть нестационарным (интегрированным) временным рядом.

Критические значения статистики Дики — Фуллера[править | править код]

Критические значения статистики Дики — Фуллера при 1%-ном уровне значимости

Размер выборки AR-модель AR-модель с константой AR-модель с константой и трендом
25 -2,66 -3,75 -4,38
50 -2,62 -3,58 -4,15
100 -2,60 -3,51 -4,04
-2,58 -3,43 -3,96

Для сравнения критическое значение распределения Стьюдента для всех моделей на больших объёмах выборки — 2,33, на малых выборках — 2,5. МакКинноном также выведены приблизительные формулы для оценки критических значений.

Расширенный тест Дики — Фуллера (ADF)[править | править код]

Если в тестовые регрессии добавить лаги первых разностей временного ряда, то распределение DF-статистики (а значит, критические значения) не изменится. Такой тест называют расширенным тестом Дики — Фуллера (Augmented DF, ADF).

Необходимость включения лагов первых разностей связана с тем, что процесс может быть авторегрессией не первого, а более высокого порядка. Рассмотрим на примере модели AR(2):

Данную модель можно представить в виде:

Если временной ряд имеет один единичный корень, то первые разности по определению стационарны. А поскольку по предположению нестационарен, то если коэффициент при нём не равен нулю, уравнение противоречиво. Таким образом, из предположения об интегрированности первого порядка для такого ряда следует, что . Таким образом, для проверки наличия единичных корней в данной модели следует провести стандартный DF-тест для коэффициента при , причем в тестовую регрессию должен быть добавлен лаг первой разности зависимой переменной.

Кроме указанной причины также существует и другая — ошибки модели могут не быть белым шумом, а быть некоторым стационарным ARMA-процессом, поэтому следует проверить наличие единичного корня для нескольких лагов. Следует, однако учесть, что увеличение числа лагов приводит к снижению мощности теста. Обычно ограничиваются тремя-четырьмя лагами.

Замечание[править | править код]

Тест Дики — Фуллера, как и многие другие тесты, проверяют наличие лишь одного единичного корня. Однако, процесс может иметь теоретически несколько единичных корней. В этом случае тест может быть некорректным. Поскольку обычно предполагается, что больше трёх единичных корней вряд ли могут встречаться в реальных экономических временных рядах, то теоретически обоснованным является тестирование в первую очередь вторых разностей ряда. Если гипотеза единичного корня для этого ряда отвергается, то тогда тестируется единичный корень в первых разностях. Если на этом этапе гипотеза не отвергается, то исходный ряд имеет два единичных корня. Если отвергается, то проверяется единичный корень в самом временном ряде, как описано выше. На практике часто все делают в обратной последовательности, что не совсем корректно. Для корректных выводов необходимы результаты тестов для вторых и первых разностей наряду с самим временным рядом.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Dickey D. A. and Fuller W. A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root / Journal of the American Statistical Association. — 74. — 1979. — p. 427—-431.
  2. 2003 Nobel Prize in Economics
  3. Учебные материалы

Литература[править | править код]

  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0..