Тест отношения правдоподобия
Тест отноше́ния правдоподо́бия (англ. likelihood ratio test, LR) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом множителей Лагранжа и тестом Вальда.
Сущность и процедура теста
[править | править код]Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу , где — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста основана на сравнении функций правдоподобия для длинной модели (без ограничений) и короткой модели (с ограничениями). Оказывается, что следующая простая статистика отношения правдоподобия
где — значения логарифмической функции правдоподобия длинной и короткой моделей, соответственно, при нулевой гипотезе имеет (возможно асимптотически) распределение — распределение хи-квадрат с степенями свободы, где — это количество ограничений. Поэтому, если значение статистики больше критического значения этого распределения при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются, и предпочтение отдаётся длинной модели. В противном случае предпочтение отдаётся короткой модели.
Частный случай
[править | править код]В случае, если случайные ошибки модели являются , то можно показать, что
В частности, при проверке значимости регрессии , следовательно
Взаимосвязь с другими тестами
[править | править код]Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты (LM = LR = W). Тем не менее, для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство . Тем самым тест отношения правдоподобия занимает некоторое среднее положение по частоте отвержения нулевой гипотезы по сравнению с тестами множителей Лагранжа и тестом Вальда. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.
Вместо LR-теста можно проводить асимптотический F-тест, статистика которого выражается через LR-статистику следующим образом .
Литература
[править | править код]- Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
- William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.