Тетрация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году[1].

Определения[править | править вики-текст]

Тетрация как степенная башня[править | править вики-текст]

Для любого положительного вещественного числа и неотрицательного целого числа , тетрацию можно определить рекуррентно:

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

Или:

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

Или:

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор[править | править вики-текст]

. Бесконечное возведение в степень для основания .

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

  1. сложение:
  2. умножение:
  3. возведение в степень:
  4. тетрация:

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства[править | править вики-текст]

Терминология[править | править вики-текст]

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

  • Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
  • Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
  • Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
  • Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка » для .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма Терминология
Тетрация
Итерационные экспоненты
Вложенные экспоненты (также башни)
Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях есть основание, и количество появляющихся есть высота. В третьем выражении, есть высота, но все основания разные.

Обозначения[править | править вики-текст]

Системы записи в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций) включают в себя:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута Позволяет удлинение путём добавление добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана Допускает особый случай в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6]
Система записи гипероператорами Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII a^^n Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда[7] {a, b,2} {a, b,c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи Система записи и итерационная система записи была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis) Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный) a^^n@x Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный) exp_a^n(x) Основана на стандартной форме записи.

Примеры[править | править вики-текст]

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными.

1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987
4 256
5 3 125
6 46 656
7 823 543
8 16 777 216
9 387 420 489
10 10 000 000 000

Открытые проблемы[править | править вики-текст]

  • Неизвестно, являются ли nπ или ne целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли целым.
  • Неизвестно, может ли быть рациональным числом, если — целое число, большее 3, а — рациональное, но не целое число (для ответ отрицателен)[9].
  • Ни для какого целого неизвестно, является ли положительный корень уравнения рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Goodstein R. L. (1947). «Transfinite ordinals in recursive number theory». Journal of Symbolic Logic 12. DOI:10.2307/2266486.
  2. Bromer N. (1987). «Superexponentiation». Mathematics Magazine 60 (3): 169–174.
  3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
  4. MacDonnell J. F. (1989). «Somecritical points of the hyperpower function ». International Journal of Mathematical Education 20 (2): 297–305. MR994348.
  5. Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Hooshmand M. H. (2006). «Ultra power and ultra exponential functions». Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. DOI:10.1080/10652460500422247.
  7. http://mrob.com/users/chrisb/Linear_Array_Notation.pdf
  8. Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals.
  9. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.

Ссылки[править | править вики-текст]