Тетрация

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году.

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа $a>0$ и неотрицательного целого числа $n\geqslant 0$, тетрацию ${}^{n}a$ можно определить рекуррентно:

• ${}^{0}a=1,$
• ${}^{n}a=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.$

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

${}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.$

Или:

${}^{5}2=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.$

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

$2^{2^{2^{2}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{8}=256.$

Или:

$2^{2^{2^{2^{2}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2^{16}=65536.$

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Основная статья: Гипероператор

$\scriptstyle {\lim \limits _{n\to \infty }{^{n}x}}$. Бесконечное возведение в степень для основания $\scriptstyle {(1/e)^{e}\leqslant x\leqslant e^{1/e}}$.

Предел ${}^{n}x$ при $\scriptstyle {n\to \infty }$, является положительным вещественным решением уравнения $y=x^{y}$. Тоесть, $x=y^{1/y}$. Предела ${}^{n}x$ не существует когда $\scriptstyle {x>e^{1/e}}$, так как максимум функции $y^{1/y}$ это $e^{1/e}$ e (число). Поэтому значений для $\scriptstyle {x>e^{1/e}}$ нет. Предела также не существует когда $\scriptstyle {0<x<e^{-e}}$.

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

   $a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{b};$

2. умножение:

   $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{b};$

3. возведение в степень:

   $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a} _{b};$

4. тетрация:

   ${^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}.$

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

• ${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$, например: ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2)}}=4^{4^{4}}=4^{256}$, но ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32}$.
• ${}^{b+c}a$ не равно ни ${}^{b}a+{}^{c}a$, ни ${}^{b}a\times {}^{c}a$, например: ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1}3\times {}^{2}3$, так как ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\times {}^{2}3=81$.

Примечание: однако, верно $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{b}{({}^{b+c}a)}={}^{c}a$ или $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{c}{({}^{b+c}a)}={}^{b}a$.

• Тетрация минус единицы равна минус единице:

${^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)}}}}}} _{n}=-1,n>0$

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году. Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»).
• Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower) есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (англ. power tower) иногда используется, в форме «степенная башня порядка $n$» для $\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{n}$.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$	Тетрация
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$	Итерационные экспоненты
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$	Вложенные экспоненты (также башни)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях $a$ есть основание, и количество появляющихся $a$ есть высота. В третьем выражении, $n$ есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${}^{n}a$	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	$a{\uparrow \uparrow }n$	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	$a\to n\to 2$	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	${}^{n}2=\mathrm {A} (4,\;n-3)+3$	Допускает особый случай $a=2$ в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)	$\mathrm {uxp} _{a}n,\quad a^{\frac {n}{}}$
Система записи гипероператорами	$a^{(4)}n,\quad \mathrm {hyper} _{4}(a,\;n)$	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Массивная нотация Бауэрса, Бауэрса/Бёрда	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

$\exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}} _{n}.$

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	$\exp _{a}^{n}(x)$	Система записи $\exp _{a}(x)=a^{x}$ и итерационная система записи $f^{n}(x)$ была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)	${}^{n}(a,\;x)$	Допускает использование больших выражений в основании.
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.
Infinity barrier notation	${}^{n}a|x$	Джонатан Бауэрс придумал это , и это можно подставить к более высоким гипероперациям

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть $3^{3^{3^{3}}}$) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$	${}^{5}x$
1	1	1	1	1
2	4	16	65 536	$\exp _{10}^{2}(4{,}29509)$
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{10}^{3}(1{,}09902)$	$\exp _{10}^{4}(1{,}09902)$
4	256	$\exp _{10}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{10}^{3}(2{,}18726)$	$\exp _{10}^{4}(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp _{10}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{10}^{3}(3{,}33928)$	$\exp _{10}^{4}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{10}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{10}^{3}(4{,}55997)$	$\exp _{10}^{4}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{10}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{10}^{3}(5{,}84259)$	$\exp _{10}^{4}(5{,}84259)$
8	16 777 216	$\exp _{10}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{10}^{3}(7{,}18045)$	$\exp _{10}^{4}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{10}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{10}^{3}(8{,}56784)$	$\exp _{10}^{4}(8{,}56784)$
10	10 000 000 000	$\exp _{10}^{3}(1)$	$\exp _{10}^{4}(1)$	$\exp _{10}^{5}(1)$

Примечание: Если $x$ не отличается от 10 по порядку величины, то для всех $k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'$ с высокой точностью выполняется $z'\approx z$. Например, для основания $x=3$ при $m=4$ и $k=3$ получаем $z-z'<1.5\cdot 10^{-15}$, и разность становится значительно меньше для значений $x>3$.

Открытые проблемы

• Неизвестно, может ли ${^{n}q}$ быть рациональным числом, если $n$ — целое число, большее 3, а $q$ — рациональное, но не целое число (для $n=2,\,3$ ответ отрицателен).
• Ни для какого целого $n>3$ неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${^{n}x}=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.