Тождества Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике тождества Ньютона, также известные как формулы Ньютона — Жирара, задают соотношения между двумя типами симметрических многочленов, а именно между элементарными симметрическими многочленами и степенными суммами Ньютона. Для произвольного многочлена P они дают возможность выразить сумму k-тых степеней всех корней P (с учётом кратности) через коэффициенты P, без фактического нахождения корней. Эти тождества были открыты Исааком Ньютоном около 1666 года, и возможно, в ранних работах (1629) Альберта Жирара. Они находят применение во многих областях математики, в том числе в теории Галуа, теории инвариантов, теории групп, комбинаторике, а также в других науках, в том числе в общей теории относительности.

Математические формулировки[править | править вики-текст]

Формулирование с помощью симметрических полиномов[править | править вики-текст]

Пусть x1,…, xn будут переменными, для k ≥ 1 обозначим сумму k-тых степеней этих переменных как pk(x1,…,xn):

и для k ≥ 0 обозначим как ek(x1,…,xn) элементарный симметрический многочлен, который представляет собой сумму всех возможных произведений k разных переменных, в частности

Тогда тождества Ньютона могут быть записаны следующим образом:

для всех k ≥ 1. Для нескольких первых значений k получим: