Тождество Капелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождество Капелли — аналог матричного соотношения \mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}(A) \, \mathrm{det}(B) для дифференциальных операторов с некоммутирующими элементами, связанных с представлением алгебры Ли \mathfrak{gl}_n. Используется для соотнесения инварианта \mathsf f с инвариантом \Omega \mathsf f, где \Omega — это \Omega-процесс Кэли[en]. Названо по имени Альфредо Капелли, установившего этот результат в 1887 году.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть x_{ij} для i, j = 1, \dots , n — коммутирующие переменные и E — поляризационный оператор:

E_{ij} = \sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}}.

Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как определители, равны:


\begin{vmatrix}  E_{11}+n-1 & \cdots &E_{1,n-1}& E_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots&\vdots\\  E_{n-1,1} & \cdots & E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n} \\  E_{n1} & \cdots & E_{n,n-1}& E_{nn} +0\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}  x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\  x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n}} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{\partial}{\partial x_{n1}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{nn}}  \end{vmatrix}.

Обе стороны этого равенства — дифференциальные операторы. Определитель в левой части имеет некоммутирующие элементы, и при разложении сохраняет порядок своих множителей слева направо. Такой определитель часто называют определителем по столбцам[неизвестный термин], так как он может быть получен за счет разложения определителя по столбцам, начиная с первого столбца. Это может быть формально записано как

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma)  A_{\sigma(1),1}A_{\sigma(2),2}\cdots A_{\sigma(n),n},

где в произведении первыми идут элементы из первого столбца, затем из второй и так далее. Определитель во втором множителе правой части равенства есть Омега процесс Кэли[en], а в первом — определитель Капелли.

Операторы Eij могут быть записаны в матричной форме:

E = X D^t,

где E, X, D — матрицы с элементами Eij, xij, \frac{\partial}{\partial x_{ij}} соответственно. Если все элементы в этих матрицах коммутирующие, тогда очевидно \det(E) = \det(X) \det(D^t). Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутируемость формуле выше можно придать смысл. Цена некоммутируемости — небольшая поправка: (n-i)\delta_{ij} в левой части равенства. В общем случае для некоммутирующих матриц такие формулы, как

\det(AB)=\det(A)\det(B)

не существуют, и само понятие определитель не имеет смысла. Именно поэтому тождество Капелли все ещё несколько загадочно, несмотря на многочисленные его доказательства. По-видимому, очень короткого доказательства не существует. Проверка тождества на прямую может быть сделано в качестве относительно несложного упражнения для n = 2, но уже для n = 3 прямая проверка будет слишком длиной.

Связь теории представлений[править | править вики-текст]

При рассмотрении общей ситуации предположим, что n и m два целых числа и x_{ij} для i = 1, \dots, n, \ j = 1, \dots, m, коммутирующие переменные. Переопределим E_{ij} почти так же, как раньше:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}},

с той лишь разницей, что индекс суммирования a пробегает значения от 1 до m. Легко видеть, что такие коммутаторы этих операторов удовлетворяют следующим соотношениям:

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}-  \delta_{il}E_{kj}.

Здесь [a,b] означает коммутатор ab-ba. Это те же соотношения, которые выполняются для матриц e_{ij}, в которых стоят нули всюду, кроме позиции (i,j), где находится 1. (Такие матрицы e_{ij} иногда называется матричными единицами). Отсюда заключаем, что отображение \pi : e_{ij} \mapsto E_{ij} определяет Представление алгебры Ли \mathfrak{gl}_n в векторном пространстве многочленов от x_{ij}.

Случай m = 1 и представление Sk Cn[править | править вики-текст]

При рассмотрении частного случая m = 1 имеем xi1, который будем сокращённо записывать как xi:

E_{ij} =  x_i \frac{\partial}{\partial x_j}.

В частности, для многочленов первой степени видно, что:

E_{ij} x_k =  \delta_{jk} x_i.

Поэтому действие E_{ij} ограничивается пространством многочленов первой степени точно так же, как действие матричных единиц e_{ij} на векторах в \mathbb{C}^{n}. Таким образом, с точки зрения теории представления, подпространство многочленов первой степени это подпредставление алгебры Ли \mathfrak{gl}_n, которое мы отождествляем с стандартным представлением в \mathbb{C}^{n}. Далее видно, что дифференциальные операторы E_{ij} сохраняют степень многочленов, и следовательно многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли \mathfrak{gl}_n. Видно также, что пространство однородных многочленов степени k может быть определено симметричным тензором степени S^k \mathbb{C}^n стандартного представления \mathbb C^n.

Также может быть определена структура максимального веса[en] этих представлений. Одночлен x^k_1 — это вектор максимального веса[en]. Действительно, E_{ij} x^k_1=0 для i < j. Его максимальный вес равен (k, 0, … ,0), потому что E_{ii} x^k_1= k \delta_{i1}x^k_1.

Это представление иногда называют бозонным преставлением \mathfrak{gl}_n. Аналогичные формулы E_{ij} =  \psi_{i}\frac{\partial}{\partial \psi_{j}} определяют так называемое фермионное представление, где \psi_{i} —антикоммутативные переменные. Снова, многочлены степени k образуют неприводимое подпредставление, изоморфное \Lambda^k \mathbb{C}^{n}, то есть антисимметричный тензор степени  \mathbb{C}^{n}. Максимальный вес такого представления (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Эти представления при k = 1, …, n являются фундаментальными представлениями \mathfrak{gl}_n.

Тождество Капелли для m = 1[править | править вики-текст]

Вернёмся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

\det(E+(n-i)\delta_{ij}) = 0, \qquad  n>1  .

Основная мотивация для этого равенства следующая: рассмотрим  E^c_{ij} =  x_i p_j для некоторых коммутирующий переменных x_i, p_j. Матрица  E^{c} имеет ранг 1 и, следовательно, её определитель равен нулю. Элементы матрицы  E определены аналогичными формулами, однако, её элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество  \det(E^{c})=0 может быть сохранено при введении поправок  (n-i)\delta_{ij} к матрице  E .

Отметим также, что подобное тождество для характеристического многочлена:

\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) =  t^{[n]}+ \mathrm{Tr}(E)t^{[n-1]},

где t^{[k]}=t(t+1) \cdots (t+k-1). Это некоммутативный аналог простого факта, что характеристический многочлен матрицы ранга 1 содержит только первые и вторые коэффициенты.

Рассмотрим пример для n = 2.

 \begin{align}
& \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\
E_{21}  & t+ E_{22} 
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix} t+ x_1 \partial_1+1 & x_1 \partial_2 \\
x_2 \partial_1  & t+ x_2 \partial_2
\end{vmatrix} \\[8pt]
& = (t+ x_1 \partial_1+1 ) ( t+ x_2 \partial_2)- x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \\[6pt]
& = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) 
+x_1 \partial_1 x_2 \partial_2+x_2 \partial_2 -
 x_2 \partial_1 x_1 \partial_2
\end{align}

Используя

\partial_1 x_1= x_1\partial_1+1,\partial_1 x_2= x_2\partial_1, x_1x_2=x_2x_1 \,

мы видим что это равно:


\begin{align}
& {} \quad t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) 
+x_2 x_1 \partial_1  \partial_2+x_2 \partial_2 -
 x_2  x_1 \partial_1 \partial_2 - x_2   \partial_2 \\[8pt]
& = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2)=t^{[2]}+ t\,\mathrm{Tr}(E).
\end{align}

Универсальная обёртывающая алгебра U(\mathfrak{gl}_n) и её центр[править | править вики-текст]

Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами Eij, то есть, коммутаторы [ E_{ij}, \det(E+(n-i)\delta_{ij})] равны нулю.

Это утверждение может быть обобщено следующим образом. Рассмотрим любые элементы Eij в любом кольце, удовлетворяющие соотношению на коммутатор [ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}-  \delta_{il}E_{kj}, (например, они могут быть дифференциальными операторами, как указано выше, матричными единицами eij или любыми другими элементами). Определим элементы Ck следующим образом:

\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) =  
t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0} t^{[k]} C_k,

где t^{[k]}=t(t+1)\cdots(t+k-1),

тогда:

  • элементы Ck коммутируют со всем элементами Eij
  • элементы Ck могут быть представлены формулами, аналогичным коммутативному случаю:
C_k=\sum_{I=(i_1<i_2<\cdots<i_k)} \det(E+(k-i)\delta_{ij})_{II},

то есть они являются суммами главных миноров матрицы E, по модулю поправок Капелли +(k-i)\delta_{ij}. В частности, элемент C0 является определителем Капелли, рассмотренным выше.

Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет показано ниже, и судя по всему, для них также не существует прямого короткого доказательства, несмотря на простоту формулировок.

Универсальная обёртывающая алгебра U(\mathfrak{gl}_n) может быть определена как алгебра, генерируемая Eij связанными только соотношениями

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}-  \delta_{il}E_{kj}.

Утверждение выше показывает, что элементы Ck принадлежат центру U(\mathfrak{gl}_n). Более того можно доказать, что они — свободные генераторы центра U(\mathfrak{gl}_n). Иногда они называются генераторами Капелли. Тождества Капелли для них будут рассмотрены ниже.

Рассмотрим пример при n = 2.


\begin{align}
{}\quad \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\
E_{21}  & t+ E_{22} 
\end{vmatrix}
& = (t+ E_{11}+1)(t+ E_{22})-E_{21}E_{12} \\
& = t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}. 
\end{align}

Непосредственно проверяется, что элемент (E_{11}+E_{22}) коммутирует с E_{ij}. (Это соответствует очевидному факту, что матрица тождества коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительной является проверка коммутативности второго элемента с E_{ij}. Проведём её для E_{12}:


[E_{12}, E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]

=[E_{12}, E_{11}] E_{22} + E_{11} [E_{12}, E_{22}] -
[E_{12}, E_{21}] E_{12} - E_{21}[E_{12},E_{12}] +[E_{12},E_{22}]

=-E_{12} E_{22} + E_{11} E_{12} -
(E_{11}- E_{22}) E_{12} - 0 +E_{12}

=-E_{12} E_{22} + E_{22} E_{12}  +E_{12}= -E_{12} + E_{12}=0.

Мы видим, что наивный определитель  E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12} не коммутирует с E_{12} и поправка Капелли  +E_{22} существенна для принадлежности центру.

Произвольное m и дуальные пары[править | править вики-текст]

Вернемся к общему случаю:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}},

для произвольных n и m. Определение операторов Eij можно записать в матричном виде: E = X D^t, где E это n \times n матрица с элементами E_{ij}; X это n \times m матрица с элементами x_{ij}; D это n \times m матрица с элементами \frac{\partial}{\partial x_{ij}}.

Тождества Капелли-Коши-Бине[править | править вики-текст]

Для произвольного m матрица E является произведением двух прямоугольных матриц: X и транспонированой к D. Если бы все элементы этих матриц коммутировали бы, тогда определитель матрицы E может быть выражен так называемой формулой Бине — Коши] через миноры X и D. Аналогичная формула существует и для матрицы E снова за небольшую плату введения поправки  E \rightarrow (E+(n-i)\delta_{ij}) :

\det(E+(n-i)\delta_{ij}) = \sum_{I=(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n \le m)} \det(X_{I}) \det(D^t_{I}),

В частности (подобно коммутативному случаю): если m<n, то \det(E+(n-i)\delta_{ij}) =0 ; в случае m=n мы возвращаемся к тождеству выше.

Заметим, что подобно коммутативному случаю, можно выразить не только определитель чE, но и его миноры через миноры X и D:

\det(E+(s-i)\delta_{ij})_{KL} = \sum_{I=(1\le i_1<i_2< \cdots <i_s \le m)} \det(X_{KI}) \det(D^t_{IL}),

Здесь K = (k1 < k2 < … < ks), L = (l1 < l2 < … < ls) — произвольные мульти-индексы; как обычно M_{KL} обозначает подматрицу M образуемую элементами M kalb. Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s, а не n как в предыдущей формуле. Заметим, что для s=1, поправка(si) исчезает и мы получаем просто определение E как произведение X и транспозиции D. Заметим также, что для произвольных K, L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами Eij, так что тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

В качестве следствия из этой формулы и формулы для характеристичного многочлена из предыдущего раздела упомянем следующее:

\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) = t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} \sum_{I,J}  \det(X_{IJ}) \det(D^t_{JI}),

где  I=(1\le i_1<\cdots <i_k \le n),  J=(1\le j_1< \cdots <j_k \le n) . Эта формула аналогична коммутативному случаю, за исключением поправки +(n-i)\delta_{ij} в левой части и замены tn на t[n] в правой.

Соотношение с дуальными парами[править | править вики-текст]

Современный интерес к этим группам возник, благодаря Роджеру Хоуву[en], который рассмотрел их в своей теории дуальных пар[en]. В случае первого ознакомления с этими идеями имеем дело с операторами E_{ij} . Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим многочлены первой степени: E_{ij} x_{kl} = x_{il} \delta_{jk} , мы видим что индекс l сохраняется. С точки зрения теории представлений многочлены первой степени могут быть отождествлены с прямым сложением представлений \mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n , здесь l-ое подпространство (l=1…m) натянуто на  x_{il} , i = 1, …, n. Посмотрим ещё раз на векторное пространство:

\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m  .

Такая точка зрения даёт первый намёк на симметрию между m и n. Чтобы взглянуть на эту идею глубже, рассмотрим:

E_{ij}^\text{dual} = \sum_{a=1}^n x_{ai}\frac{\partial}{\partial x_{aj}}.

Эти операторы задаются теми же формулами, что и E_{ij} за исключением перенумерации i \leftrightarrow j, следовательно, по тем же самыми аргументами, мы можем заключить, что E_{ij}^\text{dual} задаёт представление алгебры Ли \mathfrak{gl}_m в векторном пространстве многочленов xij. Прежде, чем идти дальше, обратим внимание на следующее свойство: дифференциальные операторы E_{ij}^\text{dual} коммутируют с дифференциальными операторами E_{kl} .

Группа Ли GL_n \times  GL_m действует на векторном пространстве  \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m  естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли \mathfrak{gl}_n \times \mathfrak{gl}_m задается дифференциальными операторами E_{ij} и  E_{ij}^\text{dual} соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

Более того, справедливы следующие свойства:

  • Дифференциальными операторами, коммутирующими с E_{ij}, являются все многочлены в E_{ij}^\text{dual} , и только они.
  • Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений GL_n and   GL_m может быть задано следующим образом:
\mathbb{C} [x_{ij}] = S(\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m) = \sum_D \rho_n^D \otimes\rho_m^{D'}.

Здесь слагаемые индексируются диаграммой Юнга D, а представления \rho^D взаимно неизоморфны. Диаграмма {D} определяет  {D'} и наоборот.

  • В частности представление большой группы  GL_n \times  GL_m такого, что каждое неприводимое представление входит только один раз.

Легко заметить сильное сходство с дуальностью Шура-Вейла[en]

Обобщения[править | править вики-текст]

Обобщению тождества Капелли посвятили свои работы ряд физиков и математиков, среди них: Р. Хоув, Б. Констант[1][2], филдсовский медалист А. Окуньков[3][4], А. Сокал,[5] Д. Зеильбергер.[6]

Предположительно, первые обобщения были получены Гербертом Вестреном Тарнбуллом ещё в 1948 году,[7] который нашёл обобщение для случая симметричных матриц (см. современный обзор в[5][6]).

Остальные обобщения могут быть разделены на несколько групп. Большинство из них основаны на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения состоят из замены алгебры Ли \mathfrak{gl}_n на полупростую группу Ли[8] и их супералгебру[en][9][10] квантовую группу,[11][12] и последующие развитие такого подхода[13]. Также тождество может быть обобщено для других дуальных пар.[14][15] И, наконец, можно рассматривать не только определитель матрицы E, но его перманент[16] след его степеней и иммананты.[3][4][17][18] Упомянем ещё несколько работ[уточнить]:[19][20][21][22][23][24][25]. Считалось в течение долгого времени, что тождество глубоко связано с полупростой группой Ли. Однако новое чисто алгебраическое обобщение тождества, которое было найдено в 2008[5] С. Карасиолло, А. Спортиелло, А. Сокалем, не имеет отношения к алгебре Ли.

Тождество Тёрнбулла для симметричных матриц[править | править вики-текст]

Рассмотрим симметричные матрицы


X=\begin{vmatrix}  
x_{11} & x_{12} &   x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ 
x_{12} & x_{22} &   x_{23} &\cdots & x_{2n} \\
x_{13} & x_{23} &   x_{33} &\cdots & x_{3n} \\
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\
x_{1n} & x_{2n} &   x_{3n} &\cdots & x_{nn}
\end{vmatrix},
D=\begin{vmatrix}  
2 \frac{\partial} { \partial x_{11} } & \frac{\partial} {\partial x_{12}} & \frac{\partial} { \partial x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt]
\frac{\partial} {\partial x_{12} } & 2 \frac{\partial} {\partial x_{22}} & \frac{\partial} { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt]
\frac{\partial} {\partial x_{13} } & \frac{\partial} {\partial x_{23}} & 2\frac{\partial} { \partial x_{33}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt]
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\
\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & \frac{\partial} {\partial x_{2n}} & \frac{\partial} { \partial x_{3n}} &\cdots & 2 \frac{\partial}{\partial x_{nn} }
\end{vmatrix}

Герберт Тёрнбулл[7] в 1948 году открыл следующее равенство:

\det(XD+(n-i)\delta_{ij}) = \det(X) \det(D) \,

Комбинаторное доказательство можно найти в работе,[6] ещё одно доказательство и интересные[уточнить] обобщения в работе,[5] см. также обсуждение ниже.

Тождество Хоув-Умеда-Констант-Сахи для антисимметричных матриц[править | править вики-текст]

Рассмотрим антисимметричные матрицы


X=\begin{vmatrix}  
0       & x_{12} &   x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ 
-x_{12} & 0      &   x_{23} &\cdots & x_{2n} \\
-x_{13} & -x_{23} &   0     &\cdots & x_{3n} \\
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\
-x_{1n} & -x_{2n} &   -x_{3n} &\cdots & 0
\end{vmatrix},
D=\begin{vmatrix}  
0 & \frac{\partial} {\partial x_{12}} & \frac{\partial} {\partial  x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt]
-\frac{\partial} { \partial x_{12} } & 0 & \frac{\partial} { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt]
-\frac{\partial} {\partial x_{13} } & -\frac{\partial} {\partial x_{23}} & 0 &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt]
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\[6pt]
-\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & -\frac{\partial} {\partial x_{2n}} & -\frac{\partial} {\partial  x_{3n}} &\cdots & 0 
\end{vmatrix}.

Тогда

\det(XD+(n-i)\delta_{ij}) = \det(X) \det(D). \,

Тождество Карасиолло — Спортиелло — Сокала для матриц Манина[править | править вики-текст]

Рассмотрим две матрицы М и Y над некоторым ассоциативным кольцом, которые удовлетворяет условию


[M_{ij}, Y_{kl}]= -\delta_{jk} Q_{il} ~~~~~

для некоторых элементов Qil. Иными словами элементы в j-ой столбце M коммутирует с элементами k-ого ряда Y когда j\neq k, а в случае, когда j = k, коммутатор элементов Mik и Ykl зависит только от i, l, но не от k.

Предположим, что M это матрица Манина[en] (простейшим примером является матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

\det(MY+ Q \,\mathrm{diag}(n-1, n-2, \dots , 1,0) ) = \det(M) \det(Y)

Здесь Q это матрица с элементами Qil, и diag(n − 1, n − 2, …, 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, …, 1, 0 на диагонали.

См.[5] предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наша Y это транспозиция к их B.

Очевидно, оригинальное тождество Каппели — частный случай этого тождества. Кроме того, из этого тождества видно, что в первоначальном тождестве Каппели можно рассмотреть элементы


 \frac{\partial} {\partial x_{ij} } + f_{ij}(x_{11},\dots,x_{kl},\dots)

для произвольных функций fij и тождество продолжает оставаться верным.

Тождество Мухина — Тарасова — Варченко и модель Годена[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Рассмотрим матрицы X и D как в тождестве Капелли, то есть с элементами  x_{ij} и  \partial_{ij} на позиции (ij).

Пусть z — другая формальная переменная (коммутирующая с x). Пусть A и B — некоторые матрицы, элементы которых комплексные числа.


\det\left(  \frac{\partial}{\partial_z} - A  - X \frac{1}{z-B} D^t   \right)

={\det}^\text{рассчитать, как будто все коммутируют}_{\text{Поместить все }x\text{ и }z\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}

\left(  \frac{\partial}{\partial_z} - A  - X \frac{1}{z-B} D^t   \right)

Здесь первый определитель следует понимать, как всегда, как определитель по столбцам матрицы с некоммутативными записями. Второй определитель должен быть вычислен, помещающая (как будто все элементы коммутативны) все x и z слева, а все дифференцирования справа (такой рецепт называется нормальным порядком[en]* в квантовой механике).

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева[править | править вики-текст]

Матрица


L(z) =  A  + X \frac{1}{z-B} D^t

это матрица Лакса[en] для квантовой интегрируемой системы спиновая цепочка[неизвестный термин] Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения для полного набора законов сохранения квантового коммутирования в модели Годена, открыв следующую теорему.

Положим


\det\left(\frac{\partial}{\partial_z} - L(z) \right) =\sum_{i=0}^n H_i(z) \left(\frac{\partial}{\partial_z}\right)^i.

Тогда для всех i, j, z, w


[ H_i(z), H_j(w) ]= 0, ~~~~~~~~

то есть Hi(z) генерируют функции от z для дифференциальных операторов от x, которые все коммутируют. Так что они дают законы сохранения квантового коммутирования в модели Годена.

Перманенты, иммананты, след матрицы — «более высокие тождества Капелли»[править | править вики-текст]

Оригинальное тождество Капелли является утверждением об определителях. Позже аналогичные тождества были найдены для перманентов, имманентов и следа матрицы. Основанная на комбинаторном подходе, статья С. Г. Уильямсона[26] была один из первых результатов в этом направлении.

Тождество Тёрнбулла для перманент антисимметричных матриц[править | править вики-текст]

Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами xij и соответствующими производными, как в случае Хоув-Умеда-Констант-Сахи выше[⇨].

Тогда

 \mathrm{perm}(X^tD -(n-i)\delta_{ij}) = \mathrm{perm}^\text{рассчитать, как будто все коммутируют}_{\text{Поместить все }x\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}
( X^t D).

Процитируем:[6] «…говорится без доказательства в конце работы Тёрнбулла». Сами авторы следуют Тёрнбуллу — в самом конце их работы они пишут:

«Так как доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательства симметричного аналога Тёрнбулла (с небольшим отклонением), мы оставляем его в качестве поучительного и приятного упражнения для читателя».

Это равенство анализируется в работе[27].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Kostant, B. & Sahi, S. (1991), "The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transform", Advances in Math. Т. 87: 71–92, DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C 
  2. Kostant, B. & Sahi, S. (1993), "Jordan algebras and Capelli identities", Inventiones Mathematicae Т. 112 (1): 71–92, DOI 10.1007/BF01232451 
  3. 1 2 Okounkov, A. (1996), Quantum Immanants and Higher Capelli Identities 
  4. 1 2 Okounkov, A. (1996), Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities 
  5. 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), Noncommutative determinants, Cauchy–Binet formulae, and Capelli-type identities. I. Generalizations of the Capelli and Turnbull identities 
  6. 1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), Combinatorial Proofs of Capelli's and Turnbull's Identities from Classical Invariant Theory 
  7. 1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), "Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 8 (2): 76–86, DOI 10.1017/S0013091500024822 
  8. Molev, A. & Nazarov, M. (1997), Capelli Identities for Classical Lie Algebras 
  9. Molev, A. (1996), Factorial supersymmetric Schur functions and super Capelli identities 
  10. Nazarov, M. (1996), Capelli identities for Lie superalgebras 
  11. Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1994), "A quantum analogue of the Capelli identity and an elementary differential calculus on GLq(n)", Duke Mathematical Journal Т. 76 (2): 567–594, doi:10.1215/S0012-7094-94-07620-5, <http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286975> 
  12. Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1996), "Dual pairs, spherical harmonics and a Capelli identity in quantum group theory", Compositio Mathematica Т. 104 (2): 227–277, <http://www.numdam.org/item?id=CM_1996__104_3_227_0> 
  13. Mukhin, E.; Tarasov, V. & Varchenko, A. (2006), A generalization of the Capelli identity 
  14. Itoh, M. (2004), "Capelli identities for reductive dual pairs", Advances in Mathematics Т. 194 (2): 345–397, DOI 10.1016/j.aim.2004.06.010 
  15. Itoh, M. (2005), "Capelli Identities for the dual pair ( O M, Sp N)", Mathematische Zeitschrift Т. 246 (1–2): 125–154, DOI 10.1007/s00209-003-0591-2 
  16. Nazarov, M. (1991), "Quantum Berezinian and the classical Capelli identity", Letters in Mathematical Physics Т. 21 (2): 123–131, DOI 10.1007/BF00401646 
  17. Nazarov, M. (1996), Yangians and Capelli identities 
  18. Molev, A. (1996), A Remark on the Higher Capelli Identities 
  19. Kinoshita, K. & Wakayama, M. (2002), "Explicit Capelli identities for skew symmetric matrices", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Т. 45 (2): 449–465, DOI 10.1017/S0013091500001176 
  20. Hashimoto, T. (2008), Generating function for GLn-invariant differential operators in the skew Capelli identity 
  21. Nishiyama, K. & Wachi, A. (2008), A note on the Capelli identities for symmetric pairs of Hermitian type 
  22. Umeda, Toru (2008), "On the proof of the Capelli identities", Funkcialaj Ekvacioj Т. 51 (1): 1–15, DOI 10.1619/fesi.51.1 
  23. Brini, A & Teolis, A (1993), "Capelli's theory, Koszul maps, and superalgebras", PNAS Т. 90 (21): 10245–10249, <http://www.pnas.org/content/90/21/10245.short> 
  24. Koszul, J (1981), "Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'opérateur de A. Capelli", C.R. Acad. Sci. Paris (no. 292): 139–141 
  25. Orsted, B & Zhang, G (2001), Capelli identity and relative discrete series of line bundles over tube domains, <http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/2001/13.pdf> 
  26. Williamson, S. (1981), "Symmetry operators, polarizations, and a generalized Capelli identity", Linear & Multilinear Algebra Т. 10 (2): 93–102, DOI 10.1080/03081088108817399 
  27. Umeda, Toru (2000), "On Turnbull identity for skew-symmetric matrices", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 43 (2): 379–393, DOI 10.1017/S0013091500020988 

Ссылки[править | править вики-текст]