Тождество Кассини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождество Кассини — тождество, утверждающее что для -ого числа Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

.[1]

Тождество Каталана обобщает это соотношение:

.

Формула Кассини была открыта в 1680 году[2] Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в 1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.

Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представить левую часть тождества в виде определителя матрицы из чисел Фибоначчи размером 2×2, показав, что эта матрица является -ой степенью матрицы с определителем −1[1]:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Кнут, 1976.
  2. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — Москва: Мир, 1998. — С. 324, глава 6.6 Числа Фибоначчи.

Литература[править | править вики-текст]

  • Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. — Москва: Мир, 1976. — Т. 1 Основные алгоритмы. — С. 114 (раздел 1.2.8).
  • R. Simson, H. Philip An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works. — 1753. — Т. 48, вып. 0. — С. 368–376. — DOI:10.1098/rstl.1753.0056.
  • M. Werman, D. Zeilberger A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity // Discrete Mathematics. — 1986. — Т. 58, вып. 1. — С. 109. — DOI:10.1016/0012-365X(86)90194-9.

Ссылки[править | править вики-текст]