Тождество Никомаха

Геометрическая иллюстрация тождества Никомаха для случая $n=5$

Тождество Никомаха (теорема Никомаха, теорема о квадрате треугольного числа) — теоретико-числовое утверждение о том, что сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату суммы первых $n$ натуральных чисел, или, другими словами, сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату $n$-го треугольного числа:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}$.

Последовательность квадратов треугольных чисел:

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... (последовательность A000537 в OEIS)

Тождество в его полном виде впервые сформулировано в трактате Диофанта «О многоугольных числах», однако утверждение о том, что кубы натуральных чисел представимы в виде суммы последовательных гномонов, есть в главе XX 2-й части «Введения в арифметику» Никомаха Герасского.

В 2025 году к теореме привлечено общественное внимание, так как номер этого года является квадратом треугольного числа (следующий год с таким свойством наступит в 3025 году, а предыдущий был в 1296 году).

См. также

• Формула Фаульхабера

Литература

• Dickson L. E. History of the theory of numbers. — New York: Dover Publications, 2005. — Vol. II: Diophantine analysis. — ISBN 978-0-486-44233-4.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
• Nicomachus of Gerasa. Introduction to Arithmetic / пер. с греч. Martin Luther D’Ooge. — New York: The Macmillan Company, 1926.
• Никомах из Герасы. Введение в арифметику / пер. с греч. А. И. Щетникова. — Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2009. Архивировано 16 февраля 2024 года.