Ток вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В квантовой механике, ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение[править | править вики-текст]

Ток вероятности определяется как

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

с плотностью вероятности , заданной

.

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

где — объём и − граница объёма . Это — закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах , когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема .

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из .

Примеры[править | править вики-текст]

Плоская волна[править | править вики-текст]

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

запишется в виде

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

.

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если его пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике[править | править вики-текст]

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной (), волновые функции запишутся в виде

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

поскольку

Вывод уравнения непрерывности[править | править вики-текст]

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных , , и ). Тогда

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от :

Результат подстановки в предыдущее уравнение для даёт

.

Теперь после перехода к дивергенции

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

Если теперь вспомним выражение для и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть тогда запишем выражение

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов , и интеграл можно опустить: