Топологическая энтропия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Топологическая энтропия — в теории динамических систем неотрицательное вещественное число, которое является мерой сложности системы.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть задано непрерывное отображение T метрического компакта (X,d) в себя. Тогда метрика d_n на X определяется как


d_n(x,y)=\max_{0\le j \le n} d(T^j(x),T^j(y)),

иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты x и y расходятся за n итераций. Далее, для заданного \varepsilon>0, говорят, что множество — (n,\varepsilon)-отделённое, если попарные d_n-расстояния между его точками не меньше \varepsilon, и мощность наибольшего такого множества обозначается через N(n,\varepsilon). Тогда топологической энтропией отображения T называется двойной предел


h(T)=\lim_{\varepsilon\to 0} \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log N(n,\varepsilon).

Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через M(n,\varepsilon) мощность наименьшей \varepsilon-сети, то


h(T)=\lim_{\varepsilon\to 0} \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log M(n,\varepsilon).

Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств N(n,\varepsilon)\le M(n,\varepsilon) \le N(n,\varepsilon/2). Стоит отметить, что и то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.

Литература[править | править исходный текст]