Топологическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Топологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией); является основным объектом изучения раздела геометрии под названием топология.

Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства. Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть дано множество X. Система \mathcal{T} его подмножеств называется тополо́гией на X, если выполнены следующие условия:

  1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих \mathcal{T}, принадлежит \mathcal{T}, то есть если  U_{\alpha} \in \mathcal{T} \quad \forall \alpha \in A, то \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.
  2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих \mathcal{T}, принадлежит \mathcal{T}, то есть если U_{i} \in \mathcal{T} \quad i = 1,\;\ldots,\;n, то \bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}.
  3. X,\;\varnothing \in \mathcal{T}.

Пара (X,\;\mathcal{T}) называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие \mathcal{T}, называются открытыми множествами.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Множества, дополнительные к открытым, называются замкнутыми.
  • Всякое открытое множество, содержащее данную точку называется её окрестностью.

Дополнительные аксиомы[править | править исходный текст]

Три аксиомы, определяющие общий класс топологических пространств, часто дополняются теми или иными аксиомами отделимости, в зависимости от которых выделяют различные классы топологических пространств, например, тихоновские пространства, хаусдорфовы пространства, регулярные, вполне регулярные, нормальные пространства и др.

Кроме этого, на свойства топологических пространств сильно влияет выполнение тех или иных аксиом счетности — первая аксиома счётности, вторая аксиома счётности (пространства со счетной базой топологии), а также сепарабельность пространства. Из наличия счетной базы топологии следует сепарабельность и выполнение первой аксиомы счетности. Кроме того, например, регулярные пространства со счетной базой являются нормальными и более того, метризуемы, то есть их топология может быть задана некоторой метрикой. Для компактных хаусдорфовых пространств наличие счетной базы топологии является необходимым и достаточным условием метризуемости. Для метрических пространств наличие счетной базы топологии и сепарабельность — эквивалентны.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Вещественная прямая \R является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов \{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\} является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, \R_\to, прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид (a,\infty), или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.
  • Вообще, евклидовы пространства \R^n являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.
  • Рассмотрим множество C(X,\;Y) непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами C(K,\;U), состоящими из отображений, при которых образ компакта K в X лежит в открытом множестве U в Y.
  • Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств X, а именно, ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство X.

Способы задания топологии[править | править исходный текст]

Задание топологии с помощью базы или предбазы[править | править исходный текст]

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии \mathfrak{B} \subset \mathcal{T} называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из \mathfrak{B}, то есть

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов. Для того, чтобы систему множеств \mathfrak{P} можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё множество X.

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на X семейством отображений (см. далее).

Индуцированная топология[править | править исходный текст]

Пусть f:X\to Y — произвольное отображение, множества X в топологическое пространство Y. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на X: За открытые множества в X берутся всевозможные прообразы открытых множеств в Y; то есть U\in X открыто, если существует открытое V\in Y такое что U=f^{-1}V.

Задание топологии с помощью замкнутых множеств[править | править исходный текст]

Множество F\subset X называется замкнутым, если его дополнение U = X \setminus F — открытое множество. Задать топологию на X системой замкнутых множеств — значит предъявить систему \mathcal{P} подмножеств X со свойствами:

  1. Система \mathcal{P} замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):
    \forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}
  2. Система \mathcal{P} замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):
    F_1,\;F_2\in \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}
  3. Множества X,\;\varnothing включены в систему \mathcal{P}.

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система \mathcal{T}открытых множеств, задающая топологию на X.

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

Пример. Пусть B — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца B называется множество X = \mathrm{Spec}\, B всех его простых идеалов. На множестве X топология вводится с помощью системы замкнутых множеств: пусть \mathfrak{a} — произвольный идеал кольца B (не обязательно простой), тогда ему соответствует множество

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha}\right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

Спектр кольца — фундаментальный объект алгебраической геометрии.

Пример. Топология Зарисского в пространстве X=\mathbf{C}^n также задаётся с помощью системы замкнутых множеств. Замкнутыми множествами в топологии Зарисского принимаются все множества, являющиеся множеством общих нулей конечной системы многочленов. Выполнение аксиом системы замкнутых множеств следует из нётеровости кольца многочленов \mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n] и того факта, что общие нули произвольной системы многочленов совпадают с общими нулями идеала, который они образуют.

Пространство X = \mathbf{C}^n естественно вложено в спектр кольца многочленов Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n] (оно совпадает с множеством всех его замкнутых точек), и топология Зарисского на X совпадает с той, что индуцирована топологией пространства Y.

Непрерывные отображения[править | править исходный текст]

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y) называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория \mathrm{Top} всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.