Крутильный маятник

Видео колебаний крутильного маятника

Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник, враща́тельный ма́ятник) — механическая система, представляющая собой тело с упругим элементом, которое может вращаться вокруг одной оси и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг этой оси, задаваемой подвесом. Если при повороте тела в упругом элементе возникает момент силы $M,$ пропорциональный углу поворота $\varphi$ с обратным знаком к углу поворота, $(M=-\kappa \varphi ),$ причём, если силы трения в системе малы, то тело может колебаться по гармоническому закону с периодом $T:$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}},$

где $I$ — момент инерции тела относительно оси кручения,

$\kappa$ — вращательный коэффициент жёсткости упругого элемента.

Крутильный маятник специальной конструкции представляет собой очень чувствительный к малым силам физический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе.

Крутильным маятником является балансир — деталь спускового механизма механических часов, вращательные колебания которого задают темп ход часов и определяют точность их хода.

В 2005 году было опубликовано сообщение о создании крутильного маятника, торсионный подвес которого выполнен из одной молекулы — углеродной нанотрубке со стенкой толщиной в один атомный слой.

Крутильный маятник как гармонический осциллятор

Обозначения

Обозначение	Размерность	Определение
$\theta$	рад	Угол отклонения от положения равновесия
$I$	кг·м2	Момент инерции
$\sigma$	Дж·с·рад−1	Коэффициент вязкого трения
$\kappa$	Н·м·рад−1	Торсионная жёсткость подвеса
$\tau$	Н·м	Крутящий момент
$f_{n}$	Гц	Собственная частота колебаний маятника без трения
$T_{n}$	с	Период собственных колебаний маятника без трения
$\omega _{n}$	рад·с−1	Собственная частота осциллятора без трения
$f$	Гц	Собственная частота колебаний маятника с трением
$\omega$	рад·с−1	Круговая частота собственных колебаний с трением
$\alpha$	с−1	Величина обратная постоянной времени затухания колебаний
$\varphi$	рад	Фаза колебаний
$L$	m	Расстояние от оси вращения до точки приложения силы

Крутильные весы, крутильные маятники и балансиры часов по сути являются крутильными гармоническими осцилляторами, которые могут испытывать гармонические вращательные колебания вокруг оси торсионного упругого элемента. Математически такие системы аналогичны пружинным осцилляторам — грузикам с пружиной, закреплённой с одного конца. Общее дифференциальное уравнение движения крутильного осциллятора:

$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sigma {\frac {d\theta }{dt}}+\kappa \theta =\tau (t).$

Если степень затухания (демпфирования) небольшое, что математически означает $\sigma \ll {\sqrt {\frac {\kappa }{I}}},$ частота колебаний крутильного осциллятора очень близка к собственной резонансной частоте системы $f_{n}:$

$f_{n}={\frac {\omega _{n}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}.$

Выражение для периода колебаний:

$T_{n}={\frac {1}{f_{n}}}={\frac {2\pi }{\omega _{n}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}.$

Общее решение в случае отсутствия внешней вынуждающей силы, то есть $\tau (t)=0$ называется решением для переходного процесса:

$\theta =Ae^{-\alpha t}\cos {(\omega t+\varphi )}~,$

где $\alpha =\sigma /2I;~$ $\omega ={\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}={\sqrt {\kappa /I-(\sigma /2I)^{2}}}~.$

См. также

• Эксперимент Кавендиша
• Крутильные весы
• Торсион