Репер (аффинная геометрия)

Репе́р (от фр. repère — знак, исходная точка) или точечный базис (иногда слово «точечный» опускается) аффинного пространства — обобщение понятия базиса для аффинных пространств.

Репер аффинного пространства $A$, ассоциированного с векторным пространством $V$ размерности $n$, представляет собой совокупность точки $O\in A$ (начала координат) и упорядоченного набора из $n$ линейно независимых векторов $e_{1},\ldots ,e_{n}\in V$ (то есть базиса в $n$-мерном векторном пространстве $V$). Это эквивалентно заданию упорядоченного набора из $n+1$ аффинно независимых точек $O,P_{1},\ldots ,P_{n}\in A$. В этом случае, очевидно, векторы $e_{1}={\vec {OP_{1}}},\ldots ,e_{n}={\vec {OP_{n}}}$.

Координатами точки $X\in A$ относительного репера $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$ называются координаты вектора ${\vec {OX}}$ относительно базиса $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Точно так же, как при выборе базиса в векторном пространстве любой вектор этого пространства задается своими координатами, любая точка аффинного пространства задается своими координатами относительного выбранного репера. Если относительно репера $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$ точка $X\in A$ обладает координатами $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, а точка $Y\in A$ — координатами $(y_{1},\ldots ,y_{n})$, то вектор ${\vec {XY}}$ имеет относительно базиса $e_{1},\ldots ,e_{n}$ координаты $(y_{1}-x_{1},\ldots ,y_{n}-x_{n}).$

Репер $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$ называется ортогональным (ортонормированным), если соответствующий ему базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ является ортогональным (ортонормированным).

См. также

• Репер (геометрия) — обобщение понятия репера для многообразий.
• Трёхгранник Френе