Точки Вектена

Точки Вектена
Внешняя и внутренняя точки Вектена
Барицентрические координаты	$\sin \alpha \cdot \sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:$ $\sin \beta \cdot \sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:$ $\sin \gamma \cdot \sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)$ (знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней)
Трилинейные координаты	$\sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)$ (знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней)
Код ЭЦТ	внешняя: X(485) внутренняя: X(486)

В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).

Внешняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами $O_{a},O_{b},O_{c}$. Тогда линии $AO_{a},BO_{b}$ и $CO_{c}$ пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.

В Энциклопедии центров треугольника внешняя точка Вектена обозначается как X(485).

История

Внешняя точка Вектена названа так в начале 19-го века в честь французского математика Вектена, который изучал математику в одно время с Жергонном (Joseph Diaz Gergonne) в Ниме (Nîmes) и опубликовал своё исследование о фигуре в виде трех квадратов, построенной на трех сторонах треугольника в 1817-ом году. По другим данным, это произошло в 1812/1813 годах. При этом ссылаются на работу.

Внутренняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB вовнутрь построим три квадрата соответственно с центрами $I_{a},I_{b},I_{c}$. Тогда линии $AI_{a},BI_{b}$ и $CI_{c}$ пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC. В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486).

Прямая $X(485)X(486)$ пересекает прямую Эйлера в Центре девяти точек треугольника $ABC$. Точки Вектена лежат на гиперболе Киперта.

Положение на гиперболе Киперта

Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла $\theta$ при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.

Ассоциации

Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).

Пифагоровы штаны. Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты $a$ и $b$, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе $c$

Пифагоровы штаны. Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности $\triangle ACK\cong \triangle ABD$, площадь которых составляет половину площади прямоугольников $AHJK$ и $ACED$ соответственно.

См. также

• Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Vecten Points (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.